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• B1. Labyrinthes
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• B4. Mnémotechnique
• B5. Palindromes
• B6. Tours de magie
• B7. Jeux de stratégie

B1. Labyrinthes

Comment sortir à coup sûr d'un labyrinthe ?

1. Introduction
2. Tarry : recherche en profondeur
3. Tarry : cheminement avec vue d'ensemble
4. Tarry : cheminement sans vue d'ensemble
5. Tarry : navette entre deux carrefours du labyrinthe
6. Oystein : recherche par cercles concentriques
7. Distinction entre carrefour et couloir
8. Modélisation d'un labyrinthe et chemin le plus court
9. Sources

B1.1. Introduction

Représentez-vous un labyrinthe quelconque, fait de nombreux carrefours et de multiples couloirs reliant ces carrefours. Comment sortir à coup sûr de ce labyrinthe ?
La Figure 1 ci-dessus donne en exemple un labyrinthe simple constitué de 7 carrefours (numérotés de 1 à 7) dont un cul-de-sac (carrefour 3), de 10 couloirs et de 4 boucles minimales ((55), (464), (2452) et (4564)).
La règle la plus simple pour cheminer dans un labyrinthe, dite "règle de la main", consiste à parcourir carrefours et couloirs, en laissant en permanence la même main (droite ou gauche) posée sur la paroi. Cette stratégie permet de ne jamais s'égarer dans le labyrinthe mais n'assure pas d'en trouver la sortie. Soit le voyageur découvre éventuellement une des issues pendant son cheminement, soit il revient automatiquement à son carrefour de départ.
Ainsi, sur l'exemple de la Figure 1, avec la règle de la main droite, un visiteur égaré au carrefour 5 tournera indéfiniment en rond dans la boucle (5245) en s'engageant dans le couloir (52).
La "règle de la main" ne s'applique donc que si le carrefour de départ correspond à l'entrée du labyrinthe, auquel cas le voyageur est assuré de traverser le labyrinthe sans s'égarer en chemin.

Une règle générale existe. Elle permet au voyageur égaré de sortir à coup sûr du labyrinthe quand ce dernier possède une issue (entrée ou sortie) et, dans le cas contraire, de le visiter complètement avant de se retrouver à son carrefour de départ. Deux stratégies de recherche existent :
- Recherche en profondeur, lorsque le voyageur est totalement égaré dans le labyrinthe. Deux règles différentes ont été publiées : règle de Charles-Pierre Trémaux en 1882 [LUC], et règle de Gaston Tarry en 1895 [TAR][TOU][ROS1] qui est plus générale.
- Recherche par cercles concentriques (ou recherche en largeur), lorsque le voyageur sait qu'il n'est pas trop éloigné de l'entrée du labyrinthe (à moins de 3 ou 4 carrefours par exemple). La règle a été publiée par Oystein Ore en 1959 [OYS][WAL].
Ces trois règles (Trémaux, Tarry et Oystein Ore) s'appliquent à tout labyrinthe-plan, c'est-à-dire étalé sur une surface relativement plane, ainsi qu'à tout labyrinthe tridimensionnel pouvant comporter des escaliers et des pièces à étages multiples.

Nous décrivons maintenant la règle de Tarry et celle de Oystein, en les complétant ensuite par certaines propriétés générales aux labyrinthes (Distinction entre carrefour et couloir, et Modélisation d'un labyrinthe et chemin le plus court).

B1.2. Tarry : recherche en profondeur

Lorsque le voyageur est totalement égaré dans le labyrinthe, la règle générale du mathématicien français Gaston Tarry est une double règle qui s'énonce comme suit :

B1.3. Tarry : cheminement avec vue d'ensemble

Dans le cas ludique où le voyageur a une vue d'ensemble du labyrinthe, le voyageur doit analyser chaque carrefour et ses couloirs attenants comme suit :
A. Juste avant d'entrer dans un carrefour, le voyageur doit marquer le couloir de Première Visite du carrefour (PV) qui est le couloir par lequel le visiteur entre pour la première fois dans le carrefour. Pour cela, il crée une marque PV à l'extrémité droite du couloir d'arrivée.
B. Juste avant de sortir du carrefour, le voyageur doit marquer le couloir de Dernier départ du carrefour (D) qui est le couloir le plus récent par lequel le visiteur sort du carrefour. Pour cela, il crée une marque D à l'entrée droite du couloir de départ.

Voyons ce cheminement sur l'exemple de la Figure 1.
Les carrefours sont repérés par les chiffres 1, 2... 7 où 1 est le carrefour de départ du voyageur égaré et 7 la seule issue du labyrinthe (entrée et sortie). Le parcours d'un couloir est noté par le chiffre du carrefour de début suivi du chiffre du carrefour de fin, par exemple (24).
Au départ, le voyageur se trouve égaré au carrefour 1 et cherche à atteindre la sortie du labyrinthe (carrefour 7).

La Figure 2 ci-dessus montre un cheminement possible accompagné des marques créées à l'extrémité de chaque couloir d'arrivée (PV ou aucune marque) et à l'entrée de chaque couloir de départ (D).
Dans le cas d'un cul-de-sac (carrefour à une seule sortie), les marques PV et D ne sont pas utiles vu que le voyageur ne reviendra jamais à ce carrefour (voir carrefour 3 en Figure 2).
Partons du carrefour (1) et prenons le seul couloir possible (12).
Au carrefour 2, choisissons un des deux couloirs inexplorés, par exemple (24). Au carrefour 4, choisissons par exemple le couloir (45). Au carrefour 5, choisissons par exemple le couloir (52). Jusqu'à maintenant, il a été facile d'appliquer la règle générale car il y avait, à chaque carrefour visité, un couloir inexploré et chaque carrefour était visité pour la première fois.
Au carrefour 2 (déjà visité), nous ne pouvons prendre le couloir (21) qui est le couloir de première visite du carrefour (cf règle n°1), ni le couloir (24) déjà pris dans ce sens (cf règle n°2). La seule option restante est de rebrousser chemin par le couloir (25).
Au carrefour 5 (déjà visité), choisissons par exemple le couloir de droite qui est en fait une boucle (55). Revenu au carrefour 5, choisissons par exemple le couloir (56). Au carrefour 6, choisissons par exemple le couloir (64).
Au carrefour 4 (déjà visité), par application des règles 1 et 2, nous ne pouvons que prendre l'un des deux couloirs inexplorés (43) ou (46), ou rebrousser chemin par l'autre couloir (46).
La première tactique s'appelle "Ariane folle"", la seconde "Ariane sage ou Algorithme de Trémaux". Ces deux tactiques sont équivalentes si l'on cherche à explorer tout le labyrinthe. La tactique "Ariane folle" est par contre préférable si l'on cherche une issue. Choisissons cette tactique et prenons par exemple le couloir (43).
Au carrefour 3 (cul-de-sac), nous devons obligatoirement rebrousser chemin par le couloir (34).
Au carrefour 4 (déjà visité), choisissons par exemple le couloir inexploré (46) puis, arrivé au carrefour 6, le couloir (67) menant à la sortie 7.
Au total, le cheminement entre le départ 1 et la sortie 7 du labyrinthe est donné par la succession des couloirs (12)(24)(45)(52)(25)(55)(56)(64)(43)(34)(46)(67).
Les couloirs de première visite de chaque carrefour y sont indiqués en police grasse.

B1.4. Tarry : cheminement sans vue d'ensemble

Dans le cas réel où le voyageur n'a pas de vue d'ensemble du labyrinthe, le voyageur doit s'arrêter à chaque carrefour et en faire le tour complet afin d'analyser tous les couloirs attenants comme suit :
A. Juste avant d'entrer dans un carrefour, le voyageur doit marquer provisoirement le couloir d'arrivée comme couloir supposé de Première Visite du carrefour. Pour cela, il crée une marque P à l'extrémité droite du couloir d'arrivée. Cette marque permet également de faire le tour complet du carrefour en revenant sereinement à la marque P.
   - Si la supposition est vraie (carrefour n'ayant aucune marque PV), le voyageur doit changer la marque P en marque PV afin de pouvoir appliquer la règle n°1 lors d'une prochaine visite du carrefour.
   - Si la supposition est fausse (carrefour ayant déjà une marque PV), le voyageur doit annuler la marque P en la barrant ("P barré") afin de se replacer en conditions initiales lors d'une prochaine visite du carrefour.
B. Juste avant de sortir du carrefour, le voyageur doit marquer deux couloirs de départ particuliers à l'entrée droite de chaque couloir. Il doit d'abord annuler la marque D du dernier couloir exploré en la barrant ("D barré"). Il doit ensuite créer une marque D sur le couloir qu'il va prendre. La marque "D barré" n'est utile que si le voyageur prévoit de faire la navette dans le labyrinthe entre un carrefour d'arrivée et un carrefour de départ. A noter que, bien que barrée, cette marque reste une marque de couloir déjà exploré, donc éligible à la règle n°2.

La Figure 3 ci-dessus montre le même cheminement que celui de la Figure 2, accompagné des marques créées à l'extrémité de chaque couloir d'arrivée (P, puis PV ou P barré) et à l'entrée de chaque couloir de départ (D barré si D existe, puis D).
Dans le cas d'un cul-de-sac (carrefour à une seule sortie), les marques P, PV et D ne sont pas utiles vu que le voyageur ne reviendra jamais à ce carrefour (voir carrefour 3 en Figure 3).

Dans le cas où le voyageur n'a rien pour marquer les parois des couloirs mais où il dispose de petits cailloux (comme le Petit Poucet), alors les marques peuvent être remplacées avantageusement comme suit.
Mais attention à ne pas confondre entrée droite et entrée gauche de chaque couloir lorsqu'on fait le tour du carrefour !

B1.5. Tarry : navette entre deux carrefours du labyrinthe

Dans le cas où le voyageur a veillé à ne garder qu'une seule marque D à chaque carrefour (cf point B ci-dessus), il peut alors faire la navette, à tout moment et sans s'égarer, entre deux carrefours du labyrinthe comme suit :
- Retourner vers un carrefour de départ (pour aller chercher par exemple une personne restée là-bas en attente) devient alors possible et facile. Il suffit à chaque carrefour de reprendre à contre-sens le couloir marqué PV à l'entrée gauche du couloir, sans générer de nouvelles marques [PET]. Le chemin de retour depuis un carrefour d'arrivée vers un carrefour de départ quelconque constitue en effet un arbre dont le tronc est ce carrefour de départ et dont les branches sont les couloirs marqués PV (voir Figure 5 ci-dessous).
Démonstration : Tout carrefour visité la première fois l'est par un couloir parcouru depuis un autre carrefour nécessairement visité une première fois. En conséquence, tout carrefour visité la première fois se trouve sur un arbre dont le tronc est le carrefour de départ et dont les branches sont les couloirs de première visite de chaque carrefour.
Cet arbre s'appelle "arbre des couloirs de première visite de chaque carrefour" ou "arbre des carrefours visités la première fois".
- Revenir ensuite au carrefour d'arrivée (pour ramener par exemple la personne avec soi et continuer la recherche ensemble) devient également possible et facile. Il suffit à chaque carrefour de reprendre dans le même sens le couloir marqué D à l'entrée droite du couloir, sans générer de nouvelles marques [PET]. Le chemin de retour depuis un carrefour de départ vers un carrefour d'arrivée quelconque constitue également un arbre dont le tronc est ce carrefour d'arrivée et dont les branches sont les couloirs marqués D (voir Figure 6 ci-dessous).
Démonstration : Tout carrefour visité la dernière fois l'est par un couloir parcouru depuis un autre carrefour nécessairement visité la dernière fois. En conséquence, tout carrefour visité la dernière fois se trouve sur un arbre dont le tronc est le carrefour d'arrivée et dont les branches sont les couloirs de dernier départ de chaque carrefour.
Cet arbre s'appelle "arbre des couloirs de dernier départ de chaque carrefour" ou "arbre des carrefours visités la dernière fois".

B1.6. Oystein : recherche par cercles concentriques

Lorsque le voyageur égaré sait qu'il n'est pas trop éloigné de l'entrée du labyrinthe (à moins de 2 ou 3 carrefours par exemple), la règle générale du mathématicien norvégien Oystein Ore permet de rejoindre cette entrée par cercles concentriques depuis le carrefour de départ, sans besoin d'explorer le labyrinthe en profondeur.
La règle générale est alors la suivante [WAL] :

Dans le cas ludique où le voyageur a une vue d'ensemble du labyrinthe, la règle générale s'applique sans difficulté.
La Figure 7 ci-dessous montre un cheminement possible depuis le carrefour de départ du labyrinthe de la Figure 1, accompagné des marques créées sur chaque couloir parcouru (traits ou croix).
La succession des couloirs parcourus est la suivante. Les couloirs condamnés y sont indiqués en police grasse.
- Exploration à distance de 1 carrefour : (12)(21)
- Exploration à distance de 2 carrefours : (12)(24)(42)(25)(52)(21)
- Exploration à distance de 3 carrefours : (12)(24)(45)(54)(46)(64)(46)(64)(43)(34)(42)(25)(55)(56)(65)(52)(21)
- Exploration à distance de 4 carrefours : (12)(25)(52)(24)(46)(67)
La sortie du labyrinthe (correspondant aussi à l'entrée) est trouvée après exploration par cercles concentriques à distance de 4 carrefours.

Dans le cas réel où le voyageur n'a pas de vue d'ensemble du labyrinthe, le voyageur doit s'arrêter à chaque carrefour, en faire le tour complet afin d'analyser tous les couloirs attenants, puis reprendre le couloir de retour en le condamnant éventuellement. Le voyageur peut alors se tromper de couloir lorsqu'un carrefour possède plusieurs sorties marquées d'un seul trait. Par exemple, pour le carrefour 5 à l'étape 3 ci-dessous, au moment de reprendre le couloir de retour (54), le voyageur peut prendre par erreur le couloir (52) parcouru à l'étape 2.
La règle générale doit donc être complétée comme suit :
4 bis - Juste avant d'entrer dans un carrefour par un couloir nouveau (non marqué et non condamné), lors du marquage de l'extrémité du couloir par un simple trait, le voyageur doit y ajouter une marque différente (par exemple la marque P). Cette marque particulière permettra de faire sereinement le tour complet du carrefour et de reprendre le couloir de retour sans erreur.

B1.7. Distinction entre carrefour et couloir

Un labyrinthe décrit sous forme de graphe ne présente pas d'ambiguïté entre carrefours et couloirs, un carrefour étant un noeud du graphe et un couloir un arc reliant deux noeuds.
Mais dans la réalité, un carrefour ou un couloir est une aire de navigation pouvant être complexe à analyser au niveau topologique : aire plus ou moins vaste, plus ou moins étroite, avec présence éventuelle de niches, de culs-de-sac peu profonds, de saillies ou d'îlots de petite taille. Dans un carrefour déjà visité, le voyageur peut, par exemple, ne pas retrouver l'emplacement exact d'une sortie ou pire, voir apparaître de nouveaux couloirs au sein du même carrefour. Lors du parcours (en sens inverse) d'un couloir déjà parcouru, le voyageur peut aussi, par exemple, voir apparaître de nouveaux carrefours au sein du même couloir.

Pour éviter toute ambiguïté, il faut définir rigoureusement le vocabulaire comme suit :
- Un Labyrinthe est un ensemble de Carrefours dont les Sorties sont toutes connectées à des Couloirs.
- Un Carrefour est une Aire de navigation comportant 1 Sortie, 3 Sorties, ou plus de 3 Sorties (voir exemple en Figure 8 ci-dessous). Le cas "1 Sortie" correspond à un cul-de-sac, qui est l'extrémité d'un Couloir aveugle (carrefour 3 en Figure 1 ci-dessus), ou à tout carrefour monocouloir pouvant être un carrefour de départ (carrefour 1 en Figure 1) ou une issue du labyrinthe (carrefour 7 en Figure 1).
- Un Couloir relie deux Carrefours par un Tronçon unique ou par une succession de plusieurs Tronçons consécutifs (voir exemple en Figure 8). Un Couloir peut former une boucle lorsqu'il relie deux Sorties du même Carrefour (cas de la Figure 8).
- Un Tronçon est une Aire de navigation comportant exactement 2 Sorties (voir exemple en Figure 8). Un Tronçon est généralement vide (sans îlots) et étroit. Il peut se présenter aussi sous forme réduite en longueur, tel un passage de porte entre deux Carrefours.
- Une Aire de navigation est un espace connexe (d'un seul tenant) le plus grand possible, ayant tous ses points intervisibles ou quasi-intervisibles, et délimité par une ou plusieurs Sorties. L'espace peut comporter des niches, des culs-de-sac peu profonds, des saillies et des îlots de petite taille. La Figure 8 ci-dessous donne un exemple de trois Aires de navigation : 1. un Carrefour (indiqué en police grasse) comprenant cinq Sorties (S1, S2, S3, S4, S5), une niche (N), un cul-de-sac peu profond (C), une saillie (A) et deux îlots de petite taille (I1, I2)) ; 2. un Tronçon vide (S3, S) ; 3. un Tronçon (S, S4) avec îlot de petite taille ; ces deux Tronçons formant un Couloir entre les Sorties S3 et S4 du Carrefour.
- Une Sortie est la limite d'un Carrefour ou d'un Tronçon, au-delà de laquelle le critère d'intervisibilité pour une Aire de navigation n'est plus respecté.

B1.8. Modélisation d'un labyrinthe et chemin le plus court

Lorsqu'on a une vue d'ensemble d'un labyrinthe, celui-ci peut se modéliser par une matrice d'incidence (M) dont les lignes et les colonnes sont les numéros de carrefour et dont chaque élément de la matrice indique la nombre de couloirs (0, 1, 2, etc.) reliant un carrefour à un autre [WAL]. La Figure 10 ci-dessus montre un exemple de labyrinthe et sa matrice d'incidence correspondante.
La matrice d'incidence permet également de modéliser un labyrinthe comportant des couloirs à sens unique [WAL] à condition que ces couloirs ne forment pas une boucle reliant deux sorties du même carrefour ou une boucle reliant deux carrefours.

Pour des besoins d'étude, tout labyrinthe peut être simplifié comme suit :
1. Tout cul-de-sac peut être supprimé en considérant qu'il est intégré (en tant que cul-de-sac peu profond) au carrefour y menant.
2. Toute boucle reliant deux sorties du même carrefour peut être supprimée en considérant qu'elle est intégrée (en tant qu'îlot de petite taille) au carrefour.
3. Toute boucle reliant deux carrefours peut être réduite à un seul couloir entre ces carrefours en considérant qu'elle est intégrée (en tant qu'îlot de petite taille) à ce couloir.
4. Tout carrefour dont le nombre de couloirs se réduit à 2 par l'une ou plusieurs des simplifications précédentes peut être supprimé en raccordant directement les deux couloirs.
5. Tout carrefour comportant n couloirs avec n > 3 peut être remplacé par un anneau formé de n carrefours comportant 3 couloirs chacun [STE] à condition d'accepter de violer la règle n°2 dans le carrefour modifié afin de pouvoir parcourir l'anneau entre deux carrefours quelconques (voir Figure 9 ci-dessus).
Si le voyageur sait traverser le labyrinthe modifié, alors il peut aussi trouver un chemin dans le labyrinthe original en rétablissant les carrefours et couloirs originaux.
La Figure 10 montre le labyrinthe équivalent à celui de la Figure 1 en appliquant les simplifications 1 à 4.

La matrice d'incidence d'un labyrinthe permet de trouver le nombre de couloirs du chemin le plus court reliant un carrefour à un autre [WAL].
En multipliant la matrice M par elle-même (voir Figure 10), on obtient une nouvelle matrice (M²) dont les éléments indiquent le nombre de façons différentes d'aller d'un carrefour à un autre par un chemin constitué de 2 couloirs. En répétant n fois l'opération, on obtient une matrice (Mⁿ) dont les éléments indiquent le nombre de façons différentes d'aller d'un carrefour à un autre par un chemin constitué de n couloirs [WAL].
Pour trouver le chemin le plus court reliant un carrefour à un autre, il suffit alors d'élever la matrice M à une puissance telle que l'élément correspondant à la liaison entre ces deux carrefours devienne non nul. La puissance donne alors le nombre de couloirs du chemin le plus court [WAL].
La Figure 10 montre que le chemin le plus court pour aller du carrefour 1 au carrefour 7 est obtenu pour n = 4 avec 2 chemins possibles constitués de n = 4 couloirs.

B1.9. Sources relatives au labyrinthe

[LUC] Edouard Lucas, Le jeu des labyrinthes, in Récréations mathématiques, tome I (2ème édition, Paris, 1882), chapitre 3, pp. 41-55.
[OYS] Oystein Ore, An excursion into labyrinths, in The Mathematics Teacher, pp. 367-370, Vol. 52, N°5, May 1959.
[PET] Régis Petit, Labyrinthes et arbres, article de la revue "CANAL.N7", journal de l'association des ingénieurs de l'I.E.T.- E.N.S.E.E.I.H, N°33 de septembre 1994.
[ROS1] Pierre Rosensthiel, Les mots du labyrinthe, Revue CoEvoluion. N°11. Hiver 1983.
[ROS2] Pierre Rosensthiel, Labyrintologie mathématique, in Mathématiques et sciences humaines, tome 33 (1971), p.5-32.
[STE] Ian Stewart, Algorithmes labyrinthiques, article de la revue Pour la science, rubrique Visions mathématiques, N°162 d'avril 1991.
[TAR] Gaston Tarry, Le problème des labyrinthes, Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 14 (1895), p. 187-190.
[TOU] Pierre Tougne, Comment explorer un labyrinthe ?, article de la revue Pour la science, rubrique Jeux mathématiques, N°60 d'octobre 1982, réactualisé dans Pierre Tougne, L'exploration d'un labyrinthe, Dossier Pour la science, Avril/Juin 2008.
[WAL] Jearl Walker, Comment traverser un labyrinthe sans se perdre ni tourner en rond, article de la revue Pour la science, rubrique Expériences d'amateur, février 1987.

B2. Loi de Benford

La loi de Benford, ou loi de Newcomb-Benford, ou loi des nombres anormaux, ou loi du premier chiffre significatif, montre que dans la vie de tous les jours, le premier chiffre significatif des nombres n'est pas équiprobable : le chiffre 1 est plus fréquent que le 2, lui-même plus fréquent que le 3, etc.
Cette curiosité est observée dans mains domaines comme les sciences humaines et sociales, les tables de valeurs numériques, la génétique, le BTP, l'économie (taux de change) ou même dans les numéros de rue de son carnet d'adresses [WIK1].
Ouvrez au hasard la page d'un journal, relevez tous les nombres que vous y trouvez. Puis intéressez-vous au premier chiffre significatif de chacun des nombres. C'est le chiffre le plus à gauche, qui n'est pas zéro. Ne tenez compte ni du signe ni de la place de la virgule : par exemple , le premier chiffre significatif des nombres 0,038   3,14159 et -32 est 3.
A votre grande surprise, vous constaterez que le chiffre 1 apparaît pour près d'un tiers des nombres, le chiffre 2 environ une fois sur 6, et que les fréquences d'apparition diminuent jusqu'au chiffre 9 (moins d'une fois sur 20) [ROU].

1. Définition
2. Domaines d'application
3. Explication
4. Cas des chiffres qui suivent le premier
5. Cas de la suite des entiers naturels
6. Cas des suites numériques
7. Sources

   

B2.1. Définition :

La loi de Benford donne la valeur théorique (f) de la fréquence d'apparition du premier chiffre significatif (c) d'un résultat de mesure exprimé dans une base (b) donnée [WIK1] : f_c = log_b(1 + 1/c)
On vérifie que la somme des fréquences f_c vaut : ∑_{i = 1, (b-1)} [log_b(1 + 1/i)] = log_b(b) = 1
Dans le système décimal (base b = 10), la loi est donc : f_c = log₁₀(1 + 1/c)
Par exemple, la probabilité benfordienne qu'un nombre en base 10 commence par le chiffre c = 1 est la suivante : f₁ = log₁₀(2) = 30,1 %
Le tableau ci-dessus donne la fréquence f_c en pourcentage pour chaque valeur du premier chiffre c entre 1 et 9.
La loi de Benford reste invariante par changement de base de numération et aussi par multiplication par une constante, notamment lors d'un changement d'unité.

B2.2. Domaines d'application :

La loi de Benford s'applique d'autant mieux que la série de nombres est "riche", avec des nombres d'origines variées (cas d'un bon mélange de séries quelconques) et/ou relativement bien étalés sur une plage couvrant plusieurs ordres de grandeur (tailles des villes par exemple) [ROU][DEL2].
Ainsi, les numéros de maison qu'on trouve dans un annuaire d'adresses vérifient assez bien la loi de Benford [DEL1]. Si une rue possède 50 numéros, alors plus d'un cinquième des numéros commencent par un 1 (à cause de 10, 11, 12... 19). Si elle en possède 20 ou 200, plus de la moitié des numéros commencent par un 1. Il est donc normal de trouver en moyenne plus souvent des numéros commençant par un 1 que par 9 (et plus généralement par le chiffre c que par c + 1) [DEL1].

La loi de Benford ne s'applique pas pour divers cas, dont les suivants [WIK1][DEL1] :
- Nombres tirés au hasard (les chiffres c seront alors tous équiprobables).
- Nombres dont le premier chiffre est imposé, par exemple les numéros de téléphone ou d'immatriculation des véhicules.
- Echelle restreinte de valeurs possibles, par exemple la taille des individus en mètres (la quasi-totalité des mesures commençant par le chiffre 1) ou le prix de vente d'un modèle particulier de voiture neuve (le prix variant peu d'un concessionnaire à un autre).

La loi de Benford est principalement utilisée pour détecter les fraudes fiscales, financières, comptables et scientifiques. Le principe est le suivant : s'ils s'étalent régulièrement sur plusieurs ordres de grandeur, les nombres apparaissant dans des comptes ou des statistiques doivent, sauf raisons particulières, vérifier le loi de Benford. Si ce sont des nombres inventés, alors le faussaire a dû vouloir en créer autant qui commencent par 1 que par 2, 3, etc., ce qui contredira la loi de Benford [DEL2].
Dans un document contenant N nombres, si N_c est le nombre de fois où le premier chiffre significatif est c, si f_c est la fréquence d'apparition du chiffre c selon la loi de Benford, alors on définit une statistique de test T comme suit [AMQ][WIK2] :
T = ∑_{c = 1, 9} [ (N_c - N f_c)² / (N f_c) ] = N ∑_{c = 1, 9} [ ((N_c/N) - f_c)² / f_c ]
Pour N grand, la statistique T se comporte alors comme une variable de la loi du X² à v = (9 - 1) degrés de liberté [AMQ].
En comparant T avec le quantile Q d'ordre 95 % de la loi du X² à v = 8 degrés de liberté [WIK2], on peut conclure que la série de nombres est très certainement truquée dans le cas où T > Q

La loi de Benford est aussi utilisée pour détecter l'existence de messages cachés dans des images (stéganographie). Deux méthodes principales existent [ATO] :
La première examine la distribution des premiers chiffres du contenu brut des octets d'une image suspecte.
La seconde examine la distribution des premiers chiffres des coefficients quantifiés de transformée en cosinus discrète (DCT) du codage JPEG.


B2.3. Explication :

La loi de Benford reste à ce jour imparfaitement expliquée [DEL1]. La meilleure explication semble être la suivante :
On démontre mathématiquement que la suite des entiers naturels (1, 2, 3... n) vérifie une forme "faible" de la loi de Benford (au sens des moyennes itérées de Cesàro) [DEL1].
C'est pourquoi il semble légitime, lorsque l'ensemble des données est "riche", de trouver statistiquement dans la vie de tous les jours, des séries de nombres dont le premier chiffre significatif n'est pas équiprobable et suit approximativement la loi de Benford.

B2.4. Cas des chiffres qui suivent le premier :

1. Cas d'un bloc de chiffres en première position [WIK1] :
La probabilité benfordienne qu'un nombre en base b commence par le bloc de chiffre (cde) est la suivante : f_cde = log_b(1 + 1/cde)
Par exemple, pour le bloc cde = "314" en base 10, on a : f₃₁₄ = log₁₀(1 + 1/314) = 0,138 %
Autre exemple, pour le bloc cde = "10" en base 3 (soit cde = 3 en base 10), on a : f_cde = log₃(1 + 1/3) = 26,2 %
2. Cas d'un chiffre en position k [WIK1] :
La probabilité benfordienne qu'un chiffre (c) soit à une position donnée (k > 1) dans un nombre en base b est la suivante : f_c = ∑_{i = b^k-2, (b^k-1 - 1)} [log_b(1 + 1/(i b + c))]
Par exemple, la probabilité benfordienne en base 10 que le chiffre c = 0 apparaisse en deuxième position (k = 2) est : log₁₀(1 + 1/10) + log₁₀(1 + 1/20) + ... + log₁₀(1 + 1/90) = 12,0 %.
Cette loi se rapproche rapidement d'une loi uniforme avec une valeur de 10 % pour chacun des dix chiffres (voir Tableau ci-dessus).

B2.5. Cas de la suite des entiers naturels :

Pour la suite des entiers naturels (1, 2, 3... n), les chiffres c en base b ne sont équirépartis (de fréquence M = 1/(b - 1)) que lorsque n vaut exactement (b - 1), (b² - 1)... (b^p - 1) pour p entier ≥ 1, ce qui n'arrive quasiment jamais [CHA].

Dans le cas contraire, la fréquence f_c(n) du premier chiffre c en base b oscille constamment entre deux valeurs extrêmes M_sup et M_inf prises respectivement en n_sup et n_inf, telles que [WIK1][CHA] :
n_sup = (c + 1) b^{p - 1} - 1
n_inf = c b^p - 1
M_sup = ( (b^p - 1)/(b - 1) ) / n_sup   qui tend vers   M_supapp = b/( (c + 1)(b - 1) )   pour p = +∞.
M_inf = ( (b^p - 1)/(b - 1) ) / n_inf   qui tend vers   M_infapp = 1/( c (b - 1) )   pour p = +∞.
On a la relation :   M_inf ≤ M_infapp ≤ M ≤ M_supapp < M_sup   vu que l'on a toujours :   1 ≤ c ≤ b - 1   et   b > 1

En base 10 et pour p = 1, la valeur du couple (M_sup, M_inf) est :
    (1, 1/9) pour le chiffre 1, obtenue en (n_sup, n_inf) = (1, 9),
    (1/5, 1/49) pour le chiffre 5, obtenue en (n_sup, n_inf) = (5, 49),
    (1/9, 1/89) pour le chiffre 9, obtenue en (n_sup, n_inf) = (9, 89).
En base 10 et pour p = 2, la valeur du couple (M_sup, M_inf) est :
    (11/19, 11/99) pour le chiffre 1, obtenue en (n_sup, n_inf) = (19, 99),
    (11/59, 11/499) pour le chiffre 5, obtenue en (n_sup, n_inf) = (59, 499),
    (11/99, 11/899) pour le chiffre 9, obtenue en (n_sup, n_inf) = (99, 899).
En base 10 et pour p = +∞, la valeur du couple (M_supapp, M_infapp) est :
    (5/9, 1/9) pour le chiffre 1,
    (5/27, 1/45) pour le chiffre 5,
    (1/9, 1/81) pour le chiffre 9.
Pour exemple, le graphe ci-dessus montre la courbe des fréquences du premier chiffre 1 (en rouge) et celle du premier chiffre 9 (en bleu) pour les entiers de 1 à 10 000, en échelle logarithmique [WIK1].

La suite f_c(n) ne converge donc pas et oscille indéfiniment entre deux valeurs extrêmes. Pour adoucir ces oscillations [DEL1], on fait la moyenne s_c(n) = (1/n) ∑_{k = 1, n} [f_c(k)], appelée moyenne de Cesàro. La nouvelle suite s_c(n) ne converge toujours pas mais varie dans un intervalle plus étroit.
En recommençant ce procécé de moyenne (t_c(n) = (1/n) ∑_{k = 1, n} [s_c(k)]), on obtient des suites successives (t_c(n), u_c(n), etc.) qui varient dans des intervalles de plus en plus étroits et B. Flehinger a démontré en 1966 que l'intervalle que l'on obtient en poursuivant ces calculs de moyennes de moyennes s'approche, à l'infini, de la valeur attendue de la loi de Benford, soit log_b(1 + 1/c)
Ainsi, la fréquence des nombres entiers commençant par le chiffre c vérifie une forme "faible" de la loi de Benford (au sens des moyennes itérées de Cesàro), chaque fréquence convergeant vers la valeur log_b(1 + 1/c)
Cette convergence d'une suite au sens de Cesàro permet de faire converger des suites qui étaient divergentes. Exemple connu, la suite "01010101..." converge vers 1/2 au sens de Cesàro.

B2.6. Cas des suites numériques :

Certaines suites numériques remarquables satisfont la loi de Benford à l'infini, c'est-à-dire que la proportion des termes de la suite jusqu'à n, dont le premier chiffre est c, tend vers la valeur log₁₀(1 + 1/c) quand n tend vers l'infini.
C'est le cas des suites 2ⁿ, nⁿ et (n !), ainsi que des coefficients du binôme de Newton [DEL1].
Il en est de même pour toute suite rⁿ où r est un réel positif tel que log₁₀(r) ne soit pas un nombre rationnel (c'est-à-dire un rapport de deux entiers) [DEL1].
Il en est également de même pour toute suite définie par une relation de récurrence de type : u(n) = a₁ u(n - 1) + a₂ u(n - 2) + ... + a_p u(n - p), en particulier pour la suite de Fibonacci (définie par : u(0) = u(1) = 1 et u(n) = u(n - 1) + u(n - 2)) [DEL1].

B2.7. Sources relatives à la loi de Benford

[AMQ] Association Mathématique du Québec, La loi de Newcomb-Benford ou la loi du premier chiffre significatif.
[ATO] P. Andriotis, T. Tryfonas, G. Oikonomou, T. Spyridopoulos, On Two Different Methods for Steganography Detection in JPEG Images with Benford's Law, NATO Spie conference 2013.
[CHA] Jean-Marie Champeau, Les illusions - La loi de Benford.
[DEL1] Jean-Paul Delahaye, L'étonnante loi de Benford, article de la revue Pour la science, rubrique Logique et calcul, N°351 de janvier 2007.
[DEL2] Jean-Paul Delahaye, Une explication pour la loi de Benford, article de la revue Pour la science, rubrique Logique et calcul, N°489 de juillet 2018.
[ROU] Thierry de la Rue, Gaëlle Chagny, L'incroyable statistique des premiers chiffres, Université de Rouen.
[WIK1] Wikipedia, Loi de Benford.
[WIK2] Wikipedia, Test du X².

B3. Mots croisés

Sont recensées ci-dessous les plus grandes grilles de mots croisés conçues sans aucune case noire (grilles "parfaites"), connues en français, anglais, italien, espagnol, latin, serbe, croate, hongrois, hébreu, allemand.
Certaines grilles sont classiques (avec des mots différents en horizontal et en vertical), d'autres sont symétriques (appelées "grilles de mots carrés" ou "carrés magiques de lettres").
Dans les deux cas, les plus "belles" grilles sont celles pour lesquelles tous les mots sont exprimés dans la même langue et chacun sous forme d'un nom commun unique, c'est-à-dire différent d'un nom propre et sans aucun séparateur (blanc, point, trait d'union, apostrophe, etc.). Elles sont indiquées par le label ***

Les records en 2024 pour les plus grandes grilles parfaites sont les suivants :
1. En français :
     * Claude Coutanceau (grille classique 9x9)
     *** Jean-Charles Meyrignac (grille classique 9x8)
     * Michel Laclos (grille symétrique 10x10)
     * Régis Petit (2 grilles symétriques 10x10)
     *** Christophe Lecoutre et Sébastien Tabary (grille symétrique 9x9)
     *** Laurent Bartholdi (2 grilles symétriques 9x9)
     *** Brice Allenbrand (49 grilles symétriques 9x9)
2. En anglais :
     * Jeff Grant (grille symétrique 12x12)
     * Jeff Grant (grille symétrique 11x11)
     * Rex Gooch (2 grilles symétriques 11x11)
     *** Matevz Kovacic (grille symétrique 10x10)
3. En italien :
     *** Auteur non connu (grille symétrique 8x8)
4. En espagnol :
     *** Auteur non connu (grille symétrique 8x8)
5. En latin :
     *** Eric Tentarelli (2 grilles symétriques 11x11)
6. En serbe :
     * Boris Nazanski (grille symétrique 10x10)
     * Zivota Stankovic (grille symétrique 10x10)
7. En croate :
     * Milutin Tepsic (grille symétrique 11x11)
     * Zarka Dokica (grille symétrique 11x11)
8. En hongrois :
     * Auteur non connu (grille classique 9x9)
9. En hébreu :
     * Auteur non connu (grille classique 10x10)
10. En allemand :
     *** Auteur non connu (grille symétrique 7x7)
     *** Tim (2 grilles symétriques 7x7)
     * Tim (grille symétrique 7x7)
11. En d'autres langues :
D'autres grilles parfaites sont disponibles en d'autres langues (*) mais avec des dimensions modestes (8x8 et inférieur). Voir [CPT Collection].
(*) arabe, arménien, biélorusse, bulgare, chinois, tchèque, danois, néerlandais, allemand, grec, hindi, kazakh, coréen, lituanien, macédonien, persan (farsi), polonais, portugais, roumain, russe, slovène, suédois, turc, ukrainien.

Remerciements : L'Auteur remercie Jean-Charles Meyrignac pour ses conseils et la fourniture d'une partie des sources.
Aidez-nous : Si vous connaissez d'autres grilles de dimensions 8x8 ou supérieur, merci de prendre Contact.

B3.1. Grilles en français :

Grilles classiques (1 grille 9x9 et 1 grille 9x8) :

* Figure 1 : grille 9x9 réalisée en 2010 par Claude Coutanceau [DRI][WIK, Mots croisés].
Horizontalement:
  REABRASES : du verbe réabraser (abraser à nouveau)
  ENCRENENT : du verbe encréner (faire des créneaux)
  OCTOCORDE : instrument de musique constitué de 8 cordes à 8 notes conjointes
  CHICORIUM :
         1. Nom latin utilisé dans les textes botaniques et médicaux pour désigner la chicorée.
         2. Erreur d'orthographe en français pour le nom Cichorium, genre botanique relatif aux chicorées. Cette faute se trouve souvent dans les articles culinaires, voire scientifiques.
         3. Nom d'une entreprise basée à Pulborough en Angleterre.
  RAVAUDERA : du verbe ravauder (raccommoder en couture)
  EPARTIRAS : du verbe épartir (épandre)
  RENIERONS : du verbe renier (désavouer)
  ALTERANTE : de l'adjectif altérant (qui altère)
  SASSASSES : du verbe sasser (tamiser)
Verticalement:
  REOCRERAS : du verbe réocrer (ocrer à nouveau)
  ENCHAPELA : du verbe enchapeler (coiffer)
  ACTIVANTS : de l'adjectif activant (qui active)
  BROCARIES :
         1. Ancien écart ou hameau de la commune de Varennes en Dordogne [GOU]
         2. Du verbe catalan brocar (deuxième personne du singulier du conditionnel) signifiant percer
  RECOUTERA : du verbe recoûter (coûter à nouveau)
  ANORDIRAS : du verbe anordir (tourner au nord)
  SERIERONS : du verbe sérier (classer)
  ENDURANTE : de l'adjectif endurant (qui endure)
  STEMASSES : du verbe stemer ou stemmer (faire un stem au ski)

*** Figure 2 : grille 9x8 réalisée en 2004 par Jean-Charles Meyrignac [ECK, A near-perfect French 9-By-8 word rectangle][WIK, Mots croisés].
Horizontalement:
  DECROCHES : de l'adjectif décroché
  ECOEURANT : de l'adjectif écoeurant
  RONFLANTE : de l'adjectif ronflant
  ATTRISTER : du verbe attrister
  PARAPHERA : du verbe parapher
  EMACIERAS : du verbe émacier
  REITERAIS : du verbe réitérer
  ASSENASSE : du verbe asséner
Verticalement:
  DERAPERA : du verbe déraper
  ECOTAMES : du verbe écôter (enlever la côte des feuilles de certains légumes)
  CONTRAIS : du verbe contrer
  REFRACTE : du verbe réfracter
  OULIPIEN : de l'adjectif oulipien (relatif à l'oeuvre littéraire Oulipo)
  CRASHERA : du verbe crasher
  HANTERAS : du verbe hanter
  ENTERAIS : du verbe enter
  STERASSE : du verbe stérer

Grilles symétriques (3 grilles 10x10 et 54 grilles 9x9, affichage partiel) :

* Figure 1 : grille 10x10 publiée en 1977 dans le livre "Jeux de lettres, jeux d'esprit" par Michel Laclos [GRA, Ars-Magna].
  REMEURTRIE : du verbe remeurtrir
  ETABLERENT : du verbe établer (mettre à l'étable)
  MATOU VESTE : phrase : "matou vesté", le second mot signifiant habillé ou investi en vieux français, ou ennivré en dialecte génevois. Exemple de phrase plausible dans un contexte de littérature médiévale : "Voyez ce fier matou vesté de son pelage noble, qui marche avec l'allure digne d'un seigneur".
  EBOULASSES : du verbe ébouler
  ULULASSENT : du verbe ululer
  REVASSANTE : de l'adjectif rêvassant
  TRESSAUTER : du verbe tressauter
  RESSENTIRA : du verbe ressentir
  INTENTERAI : du verbe intenter
  ETESTERAIS : du verbe étester (forme ancienne du verbe étêter)

* Figure 2 : grille 10x10 réalisée en 2025 par Régis Petit.
Cette grille utilise cinq mots tautonymes (composés chacun de deux parties identiques) répétés deux fois.
  OBAMA OBAMA :
         1. phrase : slogan "Obama ! Obama !" souvent scandé par les partisans lors d'événements en lien avec Barack Obama
         2. phrase : titre "Obama Obama" d'un livre néerlandais de Tom-Jan Meeus publié en 2009
         3. phrase : titre "Obama Obama" d'une chanson du groupe Millennium en 2008
         4. phrase : titre "Obama Obama" d'une chanson de Banjo Beats en 2020
         5. phrase : seconde partie du titre de la chanson "Felicidad America (Obama - Obama)" du groupe Boney M., selon deux versions 2009 (anglais et spanglish) adaptées de la version originale 1980 "Felicidad America (Margherita)"
  BISON BISON : phrase : nom scientifique du bison d'Amérique
  ASSIS-ASSIS : nom : terme médical du domaine de l'aide à la mobilité réduite, désignant le transfert sécurisé d'une personne d'un support assis à un autre support assis (comme d'un fauteuil à un lit en position assise), sans passer par la station debout.
  MOITE-MOITE : nom : expression familière signifiant moitié-moitié
  ANSER ANSER : phrase : nom scientifique de l'oie cendrée

* Figure 3 : grille 10x10 réalisée en 2025 par Régis Petit.
Cette grille utilise cinq mots tautonymes répétés deux fois.
  PANGA-PANGA : nom : bois dur d'Afrique
  ARIUS ARIUS : phrase : nom scientifique du mâchoiron fouet, espèce de poisson-chat
  NIAIS ! NIAIS ! ou NIAIS, NIAIS : phrase : répétition apparaissant dans de nombreux textes dramatiques et pièces de foire. Par exemple : "O niais ! niais ! niais !" dans la pièce Othello de Shakespeare (acte V, scène II), traduite par François-Victor Hugo en 1868.
  GUILIGUILI : nom : terme familier désignant l'action de chatouiller
  ASSIS-ASSIS : nom : terme médical du domaine de l'aide à la mobilité réduite, désignant le transfert sécurisé d'une personne d'un support assis à un autre support assis (comme d'un fauteuil à un lit en position assise), sans passer par la station debout.

* Figure 4 : grille 9x9 publiée en 1975 dans "Pratique des Mots Croisés" par Roger La Ferté et Jacques Capelovici (Que sais-je ? n° 1624) [CRU].
  TRAMERIEZ : du verbe tramer
  REDEPENDE : du verbe redépendre
  ADONISTES : botanistes spécialistes des plantes cultivées ou exotiques, dans le contexte de la botanique horticole ancienne
  MENASSENT : du verbe mener
  EPISTANTE :
         1. Adjectif verbal féminin pouvant signifier broyante (mais non officiel en français) et formé sur le verbe épister signifiant broyer ou piler (terme de pharmacie) ;
         2. Participe présent (et adjectif verbal) du verbe portugais epistar signifiant broyer ou piler (terme de pharmacie) ;
         3. Nom du tableau "Epistante, 2019" peint par Simone Pelligrini, artiste dont l'atelier est à Bologne en Italie.
  RESSAUTER : du verbe ressauter
  INTENTERA : du verbe intenter
  EDENTERAI : du verbe édenter
  ZESTERAIS : du verbe zester

* Figure 5 : grille 9x9 publiée en 1977 dans le livre de Guy Brouty "Les Mots Croisés, toute une histoire" (Hachette) [CRU]. Voir [CHA].
  BRASSAMES : du verbe brasser
  REMEUVENT : du verbe remouvoir
  AMARRANTE :
         1. Erreur d'orthographe courante pour le nom amarante, plante relative au genre botanique Amaranthus. Cette faute se trouve souvent dans les articles culinaires.
         2. Adjectif verbal féminin pouvant signifier captivante, attachante ou qui amarre (mais non officiel en français) et formé sur le verbe amarrer ;
         3. Personnage "Amarrante" de la série d'albums pour enfants "Les Florafées" créée par H.F. Diané ;
         4. Deux villas de vacances "Borgo Amarrante" et "Molino di Amarrante" situées à Montaione en Toscane (Italie) ;
         5. Participe présent du vieux verbe italien amarrare signifiant amarrer.
  SERPENTER : du verbe serpenter
  SUREXCITA : du verbe surexciter
  AVANCERAS : du verbe avancer
  MENTIRONS : du verbe mentir
  ENTETANTE : de l'adjectif entêtant
  STERASSES : du verbe stérer

*** Figure 6 : grille 9x9 réalisée en 2007 par Christophe Lecoutre et Sébastien Tabary [LGD, Les Carrés symétriques-4].
  SACCAGENT : du verbe saccager
  AEROLOGIE : du nom aérologie
  CRAINDRAS : du verbe craindre
  COITERAIT : du verbe coïter
  ALNELOISE : de l'adjectif alnélois (relatif aux habitants de la commune d'Auneau en Eure-et-Loir)
  GODRONNER : du verbe godronner (border de godrons)
  EGRAINERA : du verbe égrainer
  NIAISERAI : du verbe niaiser
  TESTERAIS : du verbe tester

*** Figure 7 : grille 9x9 réalisée en 1996 par Laurent Bartholdi [WIK, Carré magique][WIK, Mots croisés] et communiquée par Patrick Jenty [LGD, Les Carrés symétriques-4].
  PACTISENT : du verbe pactiser
  ACHEMINER : du verbe acheminer
  CHARMERAI : du verbe charmer
  TERRIGENE : de l'adjectif terrigène (qui provient de l'érosion des terres)
  IMMINENTS : de l'adjectif imminent
  SIEGERAIT : du verbe siéger
  ENRENASSE : du verbe enrêner (mettre les rênes)
  NEANTISER : du verbe néantiser
  TRIESTERS : composés organiques possédant trois fois la fonction ester

*** Figure 8 : grille 9x9 réalisée en 1996 par Laurent Bartholdi [WIK, Carré magique][WIK, Mots croisés] et communiquée par Patrick Jenty [LGD, Les Carrés symétriques-4].
  PRECAIRES : de l'adjectif précaire
  REDONNENT : du verbe redonner
  EDENTASSE : du verbe édenter
  CONCILIER : du verbe concilier
  ANTISIGMA : lettre en forme de sigma renversé
  INALIENES : de l'adjectif inaliéné
  RESIGNONS : du verbe résigner
  ENSEMENCE : du verbe ensemencer
  STERASSES : du verbe stérer

*** Figures 9, 10 et 11 : 6 grilles 9x9 (avec variantes) réalisées en 2007 par Brice Allenbrand [LGD, Les Carrés symétriques-4][ALL].
  Grille CABOSSERA
  Grille CASEMATER : Trois variantes sont possibles en remplaçant Z par E, R ou S dans RESSASSEZ
  Grille CRAMPERAS

*** Figures 12 puis 13 à 24 : 43 grilles 9x9 (avec variantes) réalisées en 2008 par Brice Allenbrand [LGD, Les Carrés symétriques-3][LGD, Les Carrés symétriques-2][LGD, Les Carrés symétriques-1].
  Grille ACCAPARER : Trois variantes sont possibles en remplaçant le R final par E, S ou Z dans RESSASSER
  Grille ARECACEES
  Grille ARRIVERAS
  Grille CHAMBRIER
  Grille CHASSABLE
  Grille CLASSABLE
  Grille CRAVACHEE
  Grille CRETACEES
  Grille EMECHASSE : Cinq variantes sont possibles en remplaçant le premier T par C dans ENTARTANT, et/ou U par D ou T dans ATTENUONS
  Grille EPERVIERE : Cinq variantes sont possibles en remplaçant C par T dans ENCARTONS, ou (C par S dans ENCARTONS, et premier N par S dans PUNEENNES), ou N par I dans ESSARTONS (en ligne horizontale et/ou verticale)
  Grille RAFRECHIS : Deux variantes sont possibles en remplaçant le deuxième T par R ou S dans INTERDITE
  Grille REGLABLES
  Grille RELACHERA : Quinze variantes sont possibles en remplaçant L par M dans RELACHERA (en ligne horizontale et/ou verticale), et/ou troisième S par I dans ASSONASSE (en ligne horizontale et/ou verticale)

B3.2. Grilles en anglais :

Grilles symétriques (1 grille 12x12, 3 grilles 11x11 et 164 grilles 10x10, affichage partiel) :

* Figure 1 : grille 12x12 réalisée en 2009 par Jeff Grant.
Cette grille utilise six mots tautonymes répétés deux fois [GRA, Some of my favorite squares].
  ENDING-ENDING : noun : the conclusion of the last part of a movie, play, book, etc.
  NGONGO-NGONGO : proper noun :
         1. Locality, Bengo Province, Angola, 8°1'S, 14°32'E
         2. Stream, Sangha region, Congo, 1°33'N, 15°41'E
  DOOGOO-DOOGOO : noun : variant of dugu-dugu, the sex act, or to have sex, in modern Jamaican English slang.
  INGENS INGENS : phrase : Megascops ingens ingens, subspecies of South American Rufescent Screech-Owl.
  NGONGENGONGE : noun : clipped person in New Zealand Maori.
  GOOSEY-GOOSEY : noun : variant of goosey, a foolish person, a simpleton, for example in the well-known English nursery rhyme "Goosey-Goosey Gander".

* Figure 2 : grille 11x11 réalisée en 1987 par Jeff Grant [GRA, Quasi eleven-squares].
Cette grille contient des noms propres.
  CENTIGRADES : noun : thermometers using the centigrade scale.
  EX-ORGUE RIMU : phrase : a nonce-term describing rimu wood formerly used in an orgue. 'Orgue' is defined as 'any of a number of long, thick timbers, pointed and shod with iron, formerly suspended over, or in the vaulted passage behind, a gateway, to be let down in case of attack; also, these pieces collectively'.
  NOMINATIVES : noun : words in the nominative case, in grammar.
  TRITICALITY : noun : triteness.
  IGNICOLISTS : noun : worshippers of fire.
  GUACONISING : noun : variant form of 'guaconizing', treating with guano.
  RETALIATORY : adj. : tending to, involving, or of the nature of, retaliation.
  ARI LISTENER : phrase : a listening person from the small community of Ari, Indiana. For example, a conversation between a resident of Ari, and one from Fort Wayne (12 miles away) could involve a Fort Wayne speaker and an 'Ari listener'.
  DIVISIONIST : noun : an advocate of the painting method known as divisionism.
  EMETT 'N RESCH : phrase : Emett and Resch are both surnames Iisted in the 1983 Melbourne, Australia, telephone directory. The form 'n is shown in Webster's Third Edition as a shortening of 'and'.
  SUSY'S GYRTHS : phrase : a nonce-term describing the refuges of someone named Susy, back in olden times. 'Susy' is shown in What to Narne the Baby, by Evelyn Wells, as a diminutive of 'Susan'. 'Gyrth' is an obsolete form of 'grith', a refuge or sanctuary.

* Figure 3 : grille 11x11 réalisée en 2004 par Rex Gooch [GOO, The eleven-square - Take one].
Cette grille contient des noms étrangers et des doubles noms associés à des prénoms et noms de famille américains.
  AABD ES SALAM : proper noun : Aabd es Salam, Syria, 36°45'N, 40°17'E
  AARON CORONA : proper noun : Aaron Corona is the U.S. Marine Corps Lance Cpl., a protective security detail team member with 3rd Battalion, 7th Marine Regiment.
  BRENDAN RUDD : proper noun : Brendan Rudd lives in Star, Idaho.
  DON FERREIRA : proper noun : Don Ferreira lives in Brentwood, California, or in Klamath Falls, Oregon.
  ENDEUTESSEN : conjugated verb : from Catalan verb endeutar-se (third person plural of the imperfect subjunctive) meaning to get into debt.
  SCARTAITELE : conjugated verb : from Romanian verb a scartai (second person singular of the imperfect indicative) meaning to creak.
  SONREIREMOS : conjugated verb : from Spanish verb sonreir (first person plural of the futur indicative) meaning to smile.
  ARRESTEREND : conjugated verb : from Deutsch verb arresteren (present participle) meaning to arrest.
  LOUISE MEADE : proper noun : Louise Meade lives in Lebanon, Indiana, or in Xichita, Kansas.
  ANDRE LONDON : proper noun : Andre London lives in Douglasville, Georgia.
  MADANE'S DENS : phrase : Madane's dens is a manufactured phrase. Madane is a locality in Oio region, Guinea-Bissau, 12°11'N, 15°19'W

* Figure 4 : grille 11x11 réalisée en 2005 par Rex Gooch [GOO, The eleven-square - Take two][GRA, Some of my favorite squares].
Cette grille contient des noms étrangers et des doubles noms associés à des prénoms et noms de famille.
  MORRIS MOSES : proper noun : Sir Morris Moses (1762-1830), later called Captain Ximenes. An alternative squares uses Norris-Moses, surname of American representational artist Dorothy NORRIS-MOSES [GRA, Some of my favorite squares].
  ORIENTIRANI : verbal adj. : oriented in Slovenian.
  RIMISURANTI : conjugated verb : from Italian verb rimisurare (present participle) meaning to remeasure.
  REID PAINTER : proper noun : Reid Painter, a pupil recorded on the 5th grade Elementary "A/B" Honor Rolls for October 2003 and January 2004 in North Chatham School, Chatham County, North Carolina.
  INSPIRADORS : noun : inspirators in Catalan.
  STUART MASON : proper noun : Dr Stuart Mason, English endocrinologist (1919-2003). A second alternative squares uses Stuart Mahon (a redident of Dublin, Ireland) and Santo Helier (a Spanish version of the name of the 6th century ascetic hermit (St. Heller), and also the capital of Jersey in the Channel Islands, which is named after him) [GRA, Some of my favorite squares].
  MIRIAM GRECO : proper noun : Miriam Greco and her husband David sold a property at 343 Barclay St, Burlington County, Philadelphia, around January 2004.
  ORANDARILOR : noun : from Romanian noun orandar (genitive or dative plural form) meaning someone who owns an inn.
  SANTOS ELLER : double proper noun : a Brazilian double surname. A Brazilian website devoted to the genealogy of the Eller family records "Maria dos SANTOS ELLER (born 3 June 1932)".
  ENTEROCOELE : noun : the body cavity formed from an outpocketing of the archenteron (a primitive digestive cavity), especially typical of echinoderms and chordates.
  SIERSNORREN : proper noun : a contrived Dutch meaning something like ostentatiously-decorated moustaches, formed by combinig sier (decorative or ornamental) with snorren (moustaches).

*** Figure 5 : grille 10x10 réalisée en 2023 par Matevz Kovacic, Slovénie [KOV][CAM].
Les dix mots sont tous des noms communs uniques.
  SCAPHARCAE : adj. : specific epithet of bacterium name Ornithinibacillus scapharcae
  CERRATEANA : adj. : specific epithet of plant name Pitcairnia cerreteana
  ARGOLETIER : noun : a light mouted soldier ; a mounted bowman
  PROCOLICIN : noun : a propeptide form of colicin
  HALOBORATE : noun : a type of inorganic compound
  ATELOMERES : adj. : specific epithet of moth name Ectropis atelomeres
  RETIREMENT : noun : withdrawal from one's position or occupation or form active working live
  CAICARENSE : adj. : specific epithet of plant name Machaerium caicarense
  ANEITENSIS : adj. : specific epithet of tree fern name Alsophila aneitensis
  EARNESTEST : adj. : superlative form of earnest

* Figure 6 : grille 10x10 réalisée en 2006 par Jeff Grant [GRA, FISCALISED ten-square revisited][GRA, The best ten-squares].
  FISCALISED : verbal adj. : variant of fiscalized
  IMPOLARITY : noun : absence of polarity
  SPALACINES : noun : blind mole-rats of the subfamily Spalacinae
  COLDNOSERS : noun : slang for hunting dogs that follow cold trails
  ALAN BROWNE : proper noun : an American bank consultant (1908-88), in Who's Who in America, 45th Ed., 1988-89.
  LA CORALINA : proper noun : locality located in the town of Candelaria, Artemisa province, Western Cuba, 22°45'N, 82°57'W
  IRISOLONES : noun : colourless estrogenic compounds derived from certain irises
  SINEWINESS : noun : state or quality of being sinewy ; firm strength
  ETERNNESSE : noun : variant of eternness, eternity
  DYSSEASSES : noun : 16th century forms of the noun diseases

* Figure 7 : grille 10x10 réalisée en 1995 par Jeff Grant [GRA, A spooner-assisted ten-square].
  VASSALISED : verbal adj. : subdued, subjugated
  ANTELARITY : noun : a blend of antelation (preference, precedence) and priority attributed to the Reverend William Spooner when mixing up the words of 17th-century Spanish scholar James Mabber : "Alleging the antelarity of time, and priotion of his debt".
  STYRACINES : noun : white crystalline substances obtained from storax and balsam of Peru
  SERENADERS : noun : people who serenade, entertain with music
  ALAN BROWNE : proper noun : an American bank consultant (1908-88), in Who's Who in America, 45th Ed., 1988-89.
  LA CAROLINA : proper noun : town located in the Jaén province, Spain, 38°16'N, 3°37'W
  IRIDOLINES : noun : oily liquid compounds derived from coal-tar
  SINEWINESS : noun : state or quality of being sinewy ; firm strength
  ETERNNESS : noun : variant of eternness, eternity
  DYSSEASSES : noun : 16th century forms of the noun diseases

* Figure 8 : grille 10x10 réalisée en 1998 par Ted Clarke [CLA, A new Wordsworth word square][LAN].
  DISCUSSING : verbal noun : talking
  INCANTATOR : noun : one who uses incantation
  SCARLATINA : noun : scarlet fever
  CARNITINES : noun : enzymes that transport activated long-chain fatty acids across the mitochondrial membrane
  UNLIKENESS : adj. : of little ressemblance
  STATE'S WREN : phrase : little bird on flag of some US states (especially South Carolina)
  SATIN WEAVE : phrase : silk-like cloth.
  ITINERATES : conjugated verb : wanders aimlessly
  NONES EVENT : phrase : plausible festival of the ancient Romans
  GRASS NESTS : phrase : nests made by weaver birds for example

* Figure 9 : grille 10x10 réalisée en 2008 par Martin Laeuter [cf mail du 8 septembre 2024 de Jean-Charles Meyrignac à Régis Petit].
  MADHAB PASA : proper noun : Madhab Pasa, village, babuganj upazila region, Bangladesh, 22°46'N, 90°17'E
  ARAEDAESIL : proper noun : Araedaesil, town, Chungcheongnam-do region, South Korea, 36°49'N, 126°58'E
  DAURAN NALA : proper noun : Dauran Nala, intermittent stream, Balochistan, Pakistan, 30°20'N, 67°23'E
  HERVIDEROS : proper noun : Los Hervideros, tourist site, Lanzarote island, Canary Islands, Spain, 28°57'N, 13°50'O
  ADAILE-KOMA : proper noun : Adaïlé-Koma, mountain, Djibouti, 11°29'N, 42°33'E
  BAND-E SIRAK : proper noun : Band-e Sirak, mountain, Wilayat-e Ghor Province, Afghanistan, 33°27'N, 65°7'E. An alternative square uses Band-e Zirak
  PENE-KIKILI : proper noun : Pene-Kikili, town, Maniema Province, Congo-Kinshasa, 4°36'S, 26°20'E
  ASARO RIVER : proper noun : Asaro River, river, Eastern Highlands Province, Papua New Guinea, 6°22'S, 145°12'E
  SILOMALELA : proper noun : Silomalela, village, Nias island, North Sumatra Province, Indonesia, 1°6'N, 97°39'E
  AL'ASAKIRAH : proper noun :
         1. Al'Asakirah, village, Dhamar Governorate, Yemen, 14°33'N, 44°40'E
         2. Al'Asakirah, village, Dhi Qar region, Irak, 31°0'N, 46°21'E
         3. Al'Asakirah, village, Bani Suwayf region, Egypt, 28°55'N, 30°53'E

* Figure 10 : grille 10x10 réalisée en 1973 par Dmitri Borgmann.
Cette grille utilise cinq mots tautonymes répétés deux fois [BOR, A new 100-letter word square][GRA, Ars-magna].
  RABBI, RABBI : phrase : included in the verse "And greetings in the markets, and to be called of men, Rabbi, Rabbi" in "Gospel According to Saint Matthew", Chapter 23, Verse 7 (cf "The New Testament and the Book of Psalms", King James Version, published by the American Bible Society (New York, 1972)).
  A SAIL ! A SAIL ! : phrase : included in the poetic quotation "I bit my arm, I sucked the blood, And cried, A sail ! a sail !" of Taylor Coleridge in "The Rime of the Ancient Mariner", Part III, Stanza 4 (cf "Familiar Quotations" by John Bartlett, 14th Edition, Revised and Enlarged, published by Little, Brown and Company (Boston and Toronto, 1968)).
  BASSA-BASSA : noun : general confusion, noise, and, in some cases, exchange of blows (cf "Notes for a Glossary of Words and Phrases of Barbadian Dialect" by Frank A. Collymore, published by Advocate Company (Bridgetown, Barbados, 1970)).
  BISON BISON : phrase : Bison bison, scientific (genus + species) name for the bison, a hoofed animal of western North America (cf "The American Heritage Dictionary of the English Language" edited by William Morris, published jointly by American Heritage Publishing Company, Inc., and Houghton Mifflin Company (Boston, New York, Atlanta, Geneva, Illionis, Dallas, Palo Alto, California, 1971)).
  ILANG-ILANG : noun : variant spelling of ylang-ylang, a tree native to the Phillippines, Java and India (cf "The World Book Dictionary" edited by Clarerce L. Barnhart, a Thorndike-Barnhart Dictonary published exclusively for Field Enterprises Educational Corporation (Chicago, London, Rome, Stockholm, Sydney, Toronto, 1968)).

* Figure 11 : grille 10x10 réalisée en 2002 par Rex Gooch [GOO, An A to Z of ten-squares][GOO, My first ten-square].
  ABAPTISTUM : noun : abaptiston (cone-shaped trephine)
  BAHRAMTAPA : proper noun : in Azerbaijan, 39°44'N, 47°57'E
  AHLERBRUCH : proper noun : in Germany, 52°12'N, 8°29'E
  PREPARATOR : noun : a person who prepares
  TARADANOVA : proper noun : in Russia, 54°45'N, 86°41'E. An alternative square uses Tarakanova, 55°21'N, 38°57'E, also in Russia.
  IMBRANGLES : conjugated verb : old form of embrangles
  STRANGFORD : proper noun : Strangford :
         1. Village, Herefordshire, England, 51°57'N, 2°37'W
         2. Farmstead, New Zealand, 43°16'S, 172°06'E
  TAUTOLOGIA : noun : Late Latin (or Greek), whence tautology
  UPCOVERING : verbal noun : old form of up covering
  MAHRAS DAGI : proper noun : Mahras Dagi in Turkey, 36°43'N, 33°17'E

* Figure 12 : grille 10x10 réalisée en 2003 par Rex Gooch [GOO, Ten-squares with place names].
  BACKSBACKA : proper noun : Backsbacka, Finland, 63°27'N, 23°07'E
  ANHUMINAS : proper noun : Ribeirao Anhuminhas, Brazil, 22°53'S, 50°50'W
  CHAHARGAL'A : proper noun : Chahargal'a-i-Wazirabad, Afghanistan, 34°33'N, 69°09'E
  KUH-E SHAHIN : proper noun : Kuh-e Shahin, Iran, 35°24'N, 46°32'E
  SMASVALENE : proper noun : Smasvalene, Norway, 60°58'N, 4°38'E
  BI'R HASANAH : proper noun : Bi'r Hasanah, Finland, 30°27'N, 33°46'E
  ANGALACANE : proper noun : Angalacane, Mozambique, 22°28'S, 31°31'E
  CHAH-E NASIR : proper noun : Chah-e Nasir, Iran, 27°43'N, 58°01'E
  KALINANINA : proper noun : Kalinanina, Zambia, 14°23'S, 24°44'E
  ASANE HERAD : proper noun : Asane Herad, Norway, 60°28'N, 5°25'E

* Figure 13 : grille 10x10 réalisée en 2003 par Rex Gooch [GOO, Ten-squares with place names].
  BAGANBATAK : proper noun : Baganbatak, Columbia, 3°12'N, 99°40'E
  'ARAB AR RAML : proper noun : 'Arab ar Raml, Egypt, 30°31'N, 31°12'E
  GARANYEMBE : proper noun : Garanyembe, Zambia, 14°25'S, 26°56'E
  ABAG KANALI : proper noun : Abag Kanali, Azerbaijan, 39°11'N,48°36'E
  NANKUNSHAN : proper noun : Nankunshan, China, 23°38'N, 113°53'E. An alternative square uses Nankan Shan, Taiwan, 25°04'N, 121°18'E
  BRYANT BANK : proper noun : Bryant Bank, an undersea feature, 28°01'N, 92°28'W
  ARENSBURGA : proper noun : Arensburga, Estonia, 58°14'N, 22°30'E
  TAMA HARBOR : proper noun : Tama Harbor, Japan, 34°28'N, 133°56'E
  AMBLANGODA : proper noun : Amblangoda, Sri Lanka, 7°00'N, 81°11'E
  KLEIN-KARAS : proper noun : Klein-Karas, Namibia, railroad siding, 27°34'S, 18°06'E

* Figure 14 : grille 10x10 réalisée en 2002 par Rex Gooch [GRA, The best ten-squares][GOO, Some superior ten-squares][CAM].
  DESCENDANT : noun : one descended from an ancestor ; issue, offspring
  ECHENEIDAE : noun : the remora family of fishes
  SHORTCOATS : noun : people wearing short coats
  CERBERULUS : adj. : specific epithet of ant name Camponotus cerberulus
  ENTEROMERE : noun : any segment of the embryonic alimentary tract
  NECROLATER : noun : someone who worships the dead or dead bodies
  DIOUMABANA : proper noun : a populated place in eastern Guinea, West Africa, 11°16'N, 9°08'W
  ADALETABAT : proper noun : a populated place in the Mus province, eastern Turkey, 38°58'N, 42°42'W
  NATURE-NAME : noun : a toponym (place name) embodying an allusion to a natural occurrence or geographical feature
  TESSERATED : verbal adj. : rare variant of tessellated, composed of small blocks of variously coloured material arranged to form a pattern

* Figure 15 : grille 10x10 réalisée en 2002 par Rex Gooch [GOO, Some superior ten-squares].
  DESSEMBLED : verbal adj. : come from the old French verb dissembler meaning to dissemble
  EL-TAMARANI : proper noun : Wadi el-Tamarani, Egypt, 29°52'N, 34°32'E
  STITCHINGS : verbal noun : activities of sewing individual threads in something
  SATIRETTES : noun : small satires
  EMCRISTENE : noun : old form of fellow Christian. An alternative square uses emcrystene
  MAHESWARDI : proper noun : Nagar Maheswardi, Bangladesh, 24°04'N, 90°42'E,
  BRITTAINES : noun : old form of Britons
  LANTERNARO : noun : lantern maker or seller (of Italian origin)
  ENGENDERER : noun : producer, causer or bringer
  DISSEISORS : noun : persons who wrongfully dispossess

* Figure 16 : grille 10x10 réalisée en 2002 par Rex Gooch [GOO, Some superior ten-squares].
Les dix mots sont tous sans séparateur (blanc, point, trait d'union ou apostrophe).
  DISSAVAGED : verbal adj. : civilized
  IKHATARENE : proper noun : Ikhatarene, Morocco, 33°17'N, 4°44'W
  SHORTLINGS : noun : short or small persons
  SARARESTII : proper noun : Sararestii, Romania, 44°56'N, 24°52'E
  ATTRISTING : verbal noun : saddening
  VALESTOLEN : proper noun : Valestolen, Norway, 60°49'N, 5°32'E
  ARISTOTILL : proper noun : medieval form of Aristotle
  GENTILITEE : noun : medieval form of gentility
  ENGINELESS : adj. : without an engine
  DESIGNLESS : adj. : being without a design

* Figure 17 : grille 10x10 réalisée en 1990 par G.H. Ropes [ROP, Further struggles with a ten-square].
  JAS J. ASCHER : proper noun : name of James J. Ascher found in a Kansas City telephone directory
  AQUAMARINE : noun : transparent blue-green gemstone
  SUFFISANTS : noun : citation-word plural for the obsolete adjective suffisant meaning sufficient
  JAFFA'S FORT : phrase : old military structure located in Jaffa, Palestine
  AMIATA TIER : phrase : Amiata is a mountain in the Apennine range in central Italy, part of a long chain which could plausibly be named the Amiata Tier
  SASSANIDAE : proper noun : members of the native dynasty that built and ruled an empire in Persia from 224 to 636
  CRAFTINESS : noun : cunning
  HINOIDEOUS : adj. : with veins proceeding from the midrib parallel and unbranched (venation of the leaves)
  ENTREASURE : verb : to lay up in or as in a treasury
  RESTRESSED : adj. : stressed again

* 5 autres grilles 10x10 réalisées en 1990 et 2002 par Jeff Grant.
Ces grilles incluent des noms étrangers ou des doubles noms associés à des prénoms et noms de famille américains. Voir [GRA, A modified ten-square][GRA, In search of the ten-square].
  1 grille ASTRALISED
  1 grille DISTALISED
  1 grille DORAASCHER
  1 grille INCAPABLER
  1 grille MISSATICAL

* 35 autres grilles 10x10 (avec variantes) réalisées en 2003 par Rex Gooch.
Ces grilles commencent par chaque lettre de l'alphabet en incluant des séparateurs (blanc, point, trait d'union ou apostrophe). Voir [GOO, An A to Z of ten-squares].
  1 grille BANPAKKHEN
  1 grille CILASTATIN
  2 grilles EPICOPARI
  1 grille FABODTRASK
  1 grille GATSCHAPAR
  2 grilles HARADSMALA
  1 grille IMPRESSUS
  1 grille JASTREBACA
  1 grille KACHIKAMAR
  1 grille LATCHESNES
  1 grille MACABABALO
  1 grille MAIDENPAPS
  1 grille MALENESSES
  1 grille NISISASPRO
  1 grille OCHIRIKROM
  1 grille OMIMICREEK
  1 grille PARADISIAL
  2 grilles PASSAGE-BED
  1 grille QALA'-I-NAMAK
  1 grille RESISTLESS
  2 grilles SPASMODISM
  1 grille TANAMALALA
  1 grille UNTUNNELED
  1 grille VALEAHOGEA
  1 grille WADIEL'EISH
  1 grille WADIGHABAT
  1 grille WALSHOUTEM
  1 grille XOMBANTANG
  2 grilles YATTAWATTE
  1 grille ZUSAMMFALL

* 108 autres grilles 10x10 (avec variantes) réalisées en 2003 par Rex Gooch.
Ces grilles utilisent cinq mots tautonymes ou quasi-tautonymes, répétés deux fois. Voir [GOO, Quarter ten-squares].
  10 grilles ABANGABANG
  12 grilles ALANGALANG
  18 grilles ANTINANTIN
  5 grilles CLANGCLANG
  1 grille HANGIHANGI
  1 grille ILANGILANG
  27 grilles INGITINGIT
  1 grille MANGIMANGI
  2 grilles ORANGOTANG
  1 grille ORANGUTANG
  1 grille RENGARENGA
  1 grille SANGASANGA
  1 grille SANGISANGI
  1 grille TANGITANGI
  21 grilles UNGASUNGAS
  1 grille URANGUTANG
  1 grille WALLAWALLA
  1 grille WANGIWANGI
  1 grille WHANGWHANG
  1 grille YLANGYLANG

* 3 autres grilles 10x10 (avec variantes) réalisées en 2004 par Rex Gooch.
Ces grilles incluent des séparateurs (blanc, point, trait d'union ou apostrophe). Voir [GOO, Hunting the ten-square].
  2 grilles NOSTOCACEA
  1 grille UORESPECHE

B3.3. Grilles en italien :

Grilles symétriques (1 grille 8x8) :

*** 1 grille 8x8 publiée en 1965 par Dmitri Borgmann [BOR, Language on Vacation, p.198].
  STACCATA : verbal adj. : detached
  TOREADOR : noun : bullfighter ; the more usual Italian word, however, is "toreadore".
  ARISTONE : noun : kind of hand organ
  CESSERAN : conjugated verb : poetic form of cesseranno meaning (they will) cease, which can be found in opera librettos
  CATENATA : verbal adj. : chained
  ADORATOR : noun : adorer
  TONATORI : noun : thunderers
  ARENARIO : adj. : sandy

B3.4. Grilles en espagnol :

Grilles symétriques (1 grille 8x8) :

*** 1 grille 8x8 publiée en 1965 par Dmitri Borgmann [BOR, Language on Vacation, p.198].
  PASAJERA : noun : female traveler
  ABATANAR : from the verb abatanar (infinitive form) meaning full cloth
  SATIRAZA : noun : fat, witty woman
  ATINARON : from the verb atinar (third person plural simple past form) meaning hit the mark : (they) hit the mark
  JARAMENA : feminine adj. : related to Jarama River in Spain. Example of use : "La ganaderia jarameña de toros"
  ENARENAR : from the verb enarenar (infinitive form) meaning cover with sand
  RAZONABA : from the verb razonar (third person singular imperfect form) meaning reason : (he) was reasoning
  ARANARAS : from the verb arañar (second person singular imperfect subjunctive form) meaning scratch : (that you) would scratch, or (that you) would scratch, or (if you) scratched, or (if you) were to scratch

B3.5. Grilles en latin :

Grilles symétriques (2 grilles 11x11) :

*** Figure 1 : grille 11x11 publiée en 2020 par Eric Tentarelli [TEN].
Attention : cette grille comporte une coquille à l'affichage : le second R du mot horizontal STERILITARI doit être changé en T [RPR].
  RESCISSEMUR : from the verb rescisso (first person plural future passive form) meaning discover (something unexpected)
  EXTENTERARE : from the verb extentero (infinitive form) meaning disembowel
  STENDERESIS : from the verb stendo (second person singular imperfect passive subjunctive form) defined as an apheretic form of extendo, a versatile verb whose primary meaning is extend or stretch out.
  CENSEREMINI : from the noun censeo (second person plural imperfect passive subjunctive form) meaning value, esteem
  INDEFINITAM : from the adjective indefinitus (feminine accusative singular form) meaning indefinite
  STERILITATI : from the noun sterilitas (dative singular form) meaning sterility
  SERENITATIS : from the noun serenitas (genitive singular form) meaning serenity. This particular inflected form may be familiar because Mare Serenitatis is one of the most visible features on the Moon.
  EREMITARIOS : from the adjective eremitarius (masculine accusative plural form) meaning living a hermit's life
  MARITATIONI : from the noun maritatio (dative singular form) meaning wedding or marriage
  URINATIONEM : from the noun urinatio (accusative singular form) meaning urination
  RESIMISSIMI : from the adjective resimus (masculine genitive singular of the superlative form) meaning turned up or bent back, which typically describes noses.
An alternative square is to change EXTENTERARE to EXTENTERATE (second person plural present imperative form of the same verb) and URINATIONEM to UTINATIONEM (accusative singular form of the noun utinatio meaning wish or expression of a wish).

*** Figure 2 : grille 11x11 publiée en 2020 par Eric Tentarelli [TEN].
  SCISSURAMUR : from the verb scissuro (first person plural present passive form) meaning cut (cloth, as to make garments)
  CONTENERARE : from the verb contenero (infinitive form) meaning make tender
  INFAMATORIS : from the noun infamator (genitive singular form) meaning slanderer
  STAMINAMINI : from the verb stamino (second person plural present passive form) meaning spin (thread) or support (a vine) with stakes
  SEMILIMATAM : from the adjective semilimatus (feminine accusative singular form) meaning half-polished
  UNANIMITATI : from the noun unanimitas (dative singular form) meaning unanimity
  RETAMINATIS : from the verb retamino (second person plural present form) meaning befoul, particularly with excrement
  AROMATARIOS : from the noun aromatarius (accusative plural form) meaning dealer in spices or apothecary
  MARITATIONI : from the noun maritatio (dative singular form) meaning wedding or marriage
  URINATIONEM : from the noun urinatio (accusative singular form) meaning urination
  RESIMISSIMI : from the adjective resimus (masculine genitive singular of the superlative form) meaning turned up or bent back, which typically describes noses.

B3.6. Grilles en serbe :

Grilles symétriques (2 grilles 10x10) :

Ces grilles, ainsi que les grilles croates de Anton Ferderber et Boris Babic, ont été publiées en 1999 par Miroslav Lazarevic [NAZ][ECK, The polyglot ten-square].

* 1 grille 10x10 publiée en 1987 par Boris Nazanski [NAZ][ECK, The polyglot ten-square][TWO]. Traduction par [PER].
  SAMONAMENA : noun :
         1. sole purpose
         2. unique destination
         3. exclusive intent
  ANIMALIZAM : noun : animalism
  MILADINOVO : proper noun :
         1. Miladinovo Brdo, hill, 44°04'N, 21°28'E, located near the village of Balajnac, Despotovac Municipality, Pomoravlje district, Serbia.
         2. Miladinovo, village, Kardzhali Municipality, Kardzhali Province, Bulgaria, 41°42'N, 25°36'E
  OMANJI SITAR : phrase : little sitar
  NADIZATELJI : noun : those who surprise from above ?
  ALISA MARICH : proper noun : Serbian chess player and Minister of Youth and Sports in the Serbia Government in 2012
  MINI TALJIVA : phrase : miniature dissolving object ?
  EZOTERICHAN : adj. : esoteric
  NAVALJIVATI : verb : to push, to insist
  AMORICHANIN : noun : devotee of Cupid ?

* 1 grille 10x10 publiée en 1996 par Zivota Stankovic [NAZ][ECK, The polyglot ten-square][TWO]. Traduction par [PER].
  KAMATARINA : adj. : usurer's
  ABUSALATIN : noun : another name for the plant Ricinus communis. This term comes from the Arabic "habb" (grains) and "sultan" (sultan) which refers to the "grains of the sultans" (see https://jezikoslovac.com/ ).
  MUNARANINI : noun : little minaret ?
  A SALAMINI J : phrase : and the salamis for me ?
  TARASIJEVA : adj. : Tarasije's (Tarasije = Serbian form of the Greek first name Tarasios of Constantinople)
  ALAMINARIN : adj. : without laminarin (laminarin = polysaccharide of brown algae)
  RANI JANJANI : phrase :
         1. ancient Janjani (Janjani = locality, Srebrenik Municipality, Republika Srpska, Bosnia and Herzegovina, 42°13'N, 17°28'E)
         2. early Janja inhabitants (Janja = locality, Bijeljina Municipality, Republika Srpska, Bosnia and Herzegovina, 44°40'N, 19°15'E)
         3. early Janja supporters (Janja = Janja Bec Neumann, Serbian sociologist and genocide researcher, Nobel Peace Prize winner in 2005)
  ITINERARIJ : noun : itinerary
  NI NI VINICA : phrase : not even a small wine ?
  ANIJANIJAC : noun : little spell ? (anijanij = a spell in Marshall islands language)

B3.7. Grilles en croate :

Grilles symétriques (2 grilles 11x11 et 6 grilles 10x10, affichage partiel) :

* 1 grille 11x11 réalisée en 2015 par Milutin Tepsic [SRP]. Traduction conforme aux définitions de cette grille [SRP].
  KAPETANIJAC : noun : the man who lives in the captaincy
  ANATOMIKOVI : noun : those who belong to an academician (= anatomist's group ?)
  PAZI NA SHANAC : phrase : the soldier, a guard in the trench (ditch) (= watch the trench ?)
  ETIKETARINA : noun : the fee that is paid for affixing labels
  TONEVERIZAM : noun : Verism heavy as thunder
  AMATERIJALI : adj. : immaterials
  NISHARINARAC : noun : the toll collector of the Nichava bridge
  IKARIJASHITI : verb : to fly too close to the sun
  JONIZARIZAM : noun : doctrine advocating widespread ionization
  AVANALATARI : noun : mortar tool manufacturers
  CICA MICI MISH : phrase : the modern form of the saying "Render unto Cesar what is Cesar's, to God what is God's - literally, "to the cat what it likes most to hunt" (= to the kitty its mouse ?)

* 1 grille 11x11 réalisée en 2015 par Zarca Dokica [CVE]. Traduction conforme aux définitions de cette grille [CVE].
  ARI PALEVSKI : proper noun : collaborator on the film "Virginity" (2014) directed by Saeed Khoze.
  ROSANA GITAN : proper noun : compound female name, the namesake of the Swedish actresses Munter and Goding.
  ISPREBASATI : verb : to break out
  PARAMOLORAC : noun : resident of Paramo Lora region, Cantabria Province, Spain.
  ANEMARI KIRI : proper noun : Austrian humanitarian and author of the book "My Unusual Journeys - Steps of Hope" about her experiences in the 1991-1995 war.
  LABORATORIJ : noun : laboratory
  EGALITIRANA : verbal adj. : equalized
  VISOKORODAC : noun : vegetable plants with tall trees or stems, for example corn.
  STARI RADARI: phrase : obsolete radio-locators
  KATARINA ROJ : proper noun : a young member of the women's hockey club "Boston Samrocks"
  INICIJACIJA : noun : customs and rites (almost among all primitive peoples) by which a boy is declared a boy, and a girl a girl.

* 1 grille 10x10 NASTRANOST réalisée en 1941 par Anton Ferderber [DNE][NAZ].
* 1 grille 10x10 NADPRILIKA réalisée en 1984 par Boris Babic [BLO][NAZ].
* 1 grille 10x10 PERIPATUSI réalisée en 1987 par Boris Babic [ENI][NAZ].
* 1 grille 10x10 TIPSKAZENA réalisée en 2010 par Antun Cvitkovic [DNE][DNE2][NAZ].
* 1 grille 10x10 OSTANIDOMA réalisée en 2020 par Boris Babic, Resad Besnicanin, Zarko Dokic, Antun Juric, Nedjeljko Nedic, Ilija Ozdanovac et Georgi Zeravica [DOM].
* Autres grilles 10x10 dont celle de Zarca Dokica [CVE].

B3.8. Grilles en hongrois :

Grilles classiques (1 grille 9x9) :

* 1 grille 9x9 publiée par CPT [CPT]. Traduction par [PER].
Horizontalement:
  KI SZELNEK : phrase : "who are cutting ?"
  RAZAROEBA : ?
  IZEGOKNEK : ?
  SAROSIIDE : adj. : Saros's (Saros = former department of Hungary, 49°00'N, 21°14'E)
  ZSEREITEK : adj. : Zsére's (Zsére = another name for Zirany, Nitra region, Slovakia, 48°23'N, 18°10'E)
  TINIITEKE : phrase : to your teenagers
  ABANDOKEN : ?
  BANKEKERA : phrase : towards the bank group ?
  ANKETENEK : phrase : for his/her survey
Verticalement:
  KRISZTABA : phrase : into Kriszta (Kriszta = diminutive of Krisztina)
  IAZASIBAN : phrase : while braying
  SZERENANK : ?
  ZAGORINKE : proper noun : Zagorin's ?
  EROSEIDET : phrase : your strong ones ?
  LOKI I TOKE : phrase ? : the Loki bow and its arrow rest
  NENITEKEN : phrase : on your aunt
  EBEDEKERE : phrase : towards your lunches ?
  KAKEKENAK : ?

B3.9. Grilles en hébreu :

Grilles classiques (1 grille 10x10) :

* 1 grille 10x10 publiée par CPT [CPT]. Liste partielle des mots traduits par [PER] :
Horizontalement:
  1- she shoshbinotayikh : phrase : "who are her bridesmaids ?"
  12- keshelkhem yirkhtu : phrase : when it belongs to you, they buy it
  19- ve se ototeihem : phrase : and that theirs signs
Verticalement:
  1- shel keshe shukhlelu : phrase : of when they were perfected
  10- ha havayati'im : phrase : the experiential aspects

B3.10. Grilles en allemand :

Grilles symétriques (4 grilles 7x7) :

*** 1 grille 7x7 publiée en 2022 par le magazine Süddeutsche Zeitung [SUD].
  SAMSARA : noun : samsara
  ANAEROB : adj. : anaerobic
  MAPPEUR : noun : mapper
  SEPTOLE : noun : septuplet (musical technical term)
  AEROPAG : noun : Areopagus (supreme court in ancient Athens)
  ROULADE : noun : roulade
  ABREGEN : verb : to cool down

*** 2 grilles 7x7 (avec variante) réalisées par Tim en 2022 [GIB].
  FIEBERT : conjugated verb : (he) has a fever. An alternative square uses SIEBERT meaning (regional technical term) : (he) filters.
  INNERER : declined adj. : inner
  ENDLOSE : declined adj. : endless
  BELEBEN : verb : to revive
  EROBERN : verb : to conquer
  RESERVE : noun : reserve
  TRENNEN : verb : to separate

* 1 grille 7x7 réalisée par Tim en 2022 [GIB].
  BEATLES : proper noun : Beatles
  EINHEIT : noun : unit
  ANREISE : noun : journey
  THEATER : noun : theater
  LEITERN : noun : ladders
  EISERNE : adj. : iron
  STERNEN : declined noun : stars

Sources relatives aux mots croisés :

• [ALL] Brice Allenbrand : page principale, 2002
• [BLO] Blogspot, 2023
• [BOR] Dmitri A. Borgmann, A new 100-letter word square, 1973
• [BOR] Dmitri A. Borgmann, Language on Vacation, Charles Scribner's Sons, 1965
• [CAM] T. Campbell, The Holy Grail of Logology, 2024
• [CHA] C. Chaplot, La théorie et la pratique des jeux d'esprit, 1895-1905
• [CLA] Ted Clarke, A new Wordsworth word square, 1998
• [CPT] Crossword Power Tools - CPT Collection, 10 Aug 2017
• [CRU] cruci.com, Le lexique des mots croisés
• [CVE] Magcni kvadrat 11x11 Zarka Dokica
• [DNE] blog dnevnik, 2018
• [DNE2] blog dnevnik - definitions, 2018
• [DRI] Jacques Drillon, Les mots croisés ont 100 ans : les cases du siècle, Le Nouvel Obs, 2013
• [ECK] A. Ross Eckler, A near-perfect French 9-By-8 word rectangle, 2007
• [ECK] A. Ross Eckler, The polyglot ten-square, 2004
• [ENI] Enigmaticatio, 2020
• [DOM] Dominikanac, 2020
• [GIB] Plattform : "German Language Stack Exchange", Seitentitel : "Gibt es ein deutsches magisches Quadrat?", autor : Tim, 2022
• [GIB] DWDS, siebern, verb.
• [GOO] Rex Gooch, My first ten-square, 2002
• [GOO] Rex Gooch, Some superior ten-squares, 2002
• [GOO] Rex Gooch, Ten-squares with place names, 2003
• [GOO] Rex Gooch, An A to Z of ten-squares, 2003
• [GOO] Rex Gooch, Quarter ten-squares, 2003
• [GOO] Rex Gooch, Hunting the ten-square, 2004
• [GOO] Rex Gooch, The eleven-square - Take one, 2004
• [GOO] Rex Gooch, The eleven-square - Take two, 2005
• [GOU] Vicomte de Gourgues, Dictionnaire Topographique du département de la Dordogne, 1873
• [GRA] Jeff Grant, Ars-magna : the ten-square, 1985
• [GRA] Jeff Grant, Quasi eleven-squares, 1987
• [GRA] Jeff Grant, In search of the ten-square, 1990
• [GRA] Jeff Grant, A spooner-assisted ten-square, 1995
• [GRA] Jeff Grant, A modified ten-square, 2002
• [GRA] Jeff Grant, A further modified ten-square, 2004
• [GRA] Jeff Grant, The best ten-squares, 2006
• [GRA] Jeff Grant, Some of my favorite squares, 2009
• [GRA] Jeff Grant, FISCALISED ten-square revisited, 2019
• [KOV] Matevz Kovacic, Word square
• [LAN] Langage Log, 2005
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Accueil, 2011-2023
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Accueil idem
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Historique
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Les Carrés symétriques-4 (6 grilles Lecoutre, Jenty et Allenbrand)
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Les Carrés symétriques-3 (Grilles Allenbrand n°10 à 24)
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Les Carrés symétriques-2 (Grilles Allenbrand n°25 à 39)
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Les Carrés symétriques-1 (Grilles Allenbrand n°40 à 54)
• [LGD] Le Grand Défi des mots croisés, Les Carrés symétriques-1 idem (Grilles Allenbrand n°40 à 54)
• [NAZ] Boris Nazanski, Magicni kvadrat 10x10, 2010
• [PER] Perplexity, le moteur d'Intelligence Artificielle développé par Perplexity AI.
• [ROP] G.H. Ropes, Further struggles with a ten-square, 1990
• [RPR] r/programming
• [SRP] Srpska Enigmatika
• [SUD] Süddeutsche Zeitung, Des Osterrätsels Lösung, 29. April 2022
• [TEN] Eric Tentarelli - Large Word Squares in Latin, 2020
• [TWO] Two word squares in Serbian
• [WIK] Wikipedia - Mots croisés
• [WIK] Wikipedia, Carré magique (lettres)
• [WOR] Word ways, Butler University

B4. Mnémotechnique

1. Introduction
2. Tables de rappel des chiffres de 0 à 9
3. Tables de rappel des nombres de 00 à 99
4. Sources

B4.1. Introduction :

La mnémotechnique regroupe l'ensemble des techniques destinées à faciliter la mémorisation et le rappel d'informations grâce à des associations mentales.
Parmi ces procédés, la méthode des articulations chiffrées [WIK] se distingue par son efficacité pour retenir des nombres. Ce système repose sur une correspondance fixe entre les chiffres de 0 à 9 et des sons de type consonne. Par exemple, 3 correspond au son "m". En ajoutant librement des voyelles, on transforme les suites de chiffres en mots concrets, plus faciles à mémoriser. Par exemple, le nombre 42 peut devenir le mot mouton (m = 3, t = 1).
La table de rappel des chiffres (de 0 à 9) fut mise au point au 19e siècle par Aimé Paris [PAR, p.28], puis reprise à l'identique par l'abbé François-Napoléon-Marie Moigno [WIK]. Une version différente et plus simple fut ensuite proposée par Joe Bertin [BER] en 2018, reprise quasiment à l'identique par Régis Petit en 2025.
La table de rappel des nombres de 00 à 99 attribue, quant à elle, un mot concret à chacun de ces nombres.

Les étapes de la méthode des articulations chiffrées sont les suivantes :
1. Associer chaque chiffre de 0 à 9 à un son de type consonne, selon un code à retenir par coeur (voir Table de rappel des chiffres).
2. Convertir la suite de chiffres à retenir en une suite de sons, conformément à ce code.
3. Former une suite de mots à partir de ces sons en ajoutant des voyelles, de manière à créer phonétiquement une phrase, ou mentalement une histoire imagée et marquante.
4. Pour restituer les chiffres, procéder à l'inverse : histoire, mots, sons, chiffres.

Exemple d'histoire en français que l'on peut construire soi-même pour retenir les premières décimales du nombre Pi = 3, 14 15 92 65 35 89 79 32 38... :
- Selon table de rappel des chiffres de Aimé Paris : "assis par TeRre sur une modeste ToiLe, je suis en PaNne et GèLe. Au loin, près d'une MeuLe de foin, se trouve une VamP portant une CaPe de MoiNe et des MouFles."
- Selon table de rappel des chiffres de Régis Petit : "sur mon TanK, à côté d'une TaSse, d'une PoiRe et d'une GouSse d'ail, j'écoute la MeSse, quand surgit un BiP sonore. J'éclaire avec ma LamPe et vois une MaRe avec un MeuBle en plein milieu."

Applications :
Parmi les applications où la méthode des articulations chiffrées apporte un réel bénéfice, on peut citer :
- les numéros de téléphone codés en 5 mots concrets de deux chiffres chacun (exemple : 06 12 34 56 78)
- les dates anniversaire codées en 4 mots concrets (exemple : 24 02 1958)
- les codes d'accès (code PIN, code de porte d'immeuble, de coffre-fort, d'alarme, etc.) codés en 2 ou 3 mots concrets selon leur longueur
- les numéros de sécurité sociale codés en un chiffre initial (genre : 1 homme, 2 femme) suivi de 7 mots concrets (exemple : 1 58 02 XX XX XX XX XX)

B4.2. Tables de rappel des chiffres de 0 à 9 :

La table de rappel des chiffres de 0 à 9 n'est pas unique et dépend de son auteur :
- Celle de Aimé Paris a le mérite de codifier tous les sons courants de type consonne. L'association entre chiffre et son(s) doit être mémorisée par coeur.
- Celle de Joe Bertin associe une lettre de type consonne à chaque chiffre, ce qui fournit un support visuel facilitant grandement la mémorisation des sons.
- Celle de Régis Petit reprend la table de Joe Bertin en y modifiant les lettres associées aux chiffres 2 et 4, ce qui améliore le support visuel (voir Figure ci-dessus).
Les différentes tables sont les suivantes :
Légende du tableau : (*) selon l'écriture orthographique des phonèmes.

B4.3. Tables de rappel des nombres de 00 à 99 :

Chacun peut construire librement sa table de rappel des nombres de 00 à 99, conformément à une table de rappel des chiffres donnée.
Les tables de rappel des nombres de 00 à 99 proposées ci-dessous ont été créées par Régis Petit. La première est conforme au codage des chiffres par Aimé Paris, la seconde au codage des chiffres par Régis Petit.
Ces deux tables sont conçues selon les règles suivantes, permettant une mémorisation facile des mots concrets :
    Mot concret = nom commun ou propre, à une seule syllabe de type CVC ou CSVC, tel que :
    C = consonne associée au chiffre dans la table de rappel des chiffres.
    V = voyelle pouvant être (*) : "é" "è" "eu" "in" "a" "an" "ou" "o" "on" "i" "u"
    S = semi-consonne en attaque d'une voyelle V, pouvant être (*) : "w" "y" "u+"
    le noyau V ou SV de la syllabe étant choisi prioritairement parmi les sons (*) : "é" "è", "eu", "in" ; "a", "an" ; "ou", "w" V ; "o", "on" ; "i", "y" V ; "u", "u+" V
(*) selon l'écriture orthographique des phonèmes.
Les exceptions à ces règles sont mises en italique dans ces tables.

B4.4. Sources relatives à la Mnémotechnique :

[APP] Apprendre5minutes, Comment mémoriser facilement les chiffres ou les nombres
[BER] Joe Bertin, Astuce de mémorisation : la table de rappel
[LIV1] French Handwriting Schoolbook, écriture ronde française
[LIV2] pilllpat (agence eureka), album Alphabete
[PAR] Aimé Paris, Exposition et pratique des procédés mnémotechniques à l'usage des personnes qui veulent étudier la mnémotechnie en général comme un moyen d'abréger l'étude de toutes les connaissances humaines, Paris, 1825
[WIK] Wikipedia, Code chiffres-sons

B5. Palindromes

1. Introduction
2. Phrases palindromes attribuées
3. Phrases palindromes anonymes
4. Villes palindromes
5. Prénoms palindromes
6. Palindromes de mots
7. Palindromes numériques
8. Palindromes rotationnels
9. Palindromes miroirs
10. Palindromes musicaux
11. Sources

B5.1. Introduction :

Un palindrome est une forme de symétrie linguistique où une phrase (pouvant se limiter à un seul mot) se lit ou s'entend de la même manière dans les deux sens.
Les palindromes orthographiques reposent sur l'ordre des lettres dans l'écriture, comme dans C'est sec. Voir Phrases palindromes attribuées, Phrases palindromes anonymes, Villes palindromes et Prénoms palindromes.
De même pour les palindromes de mots qui reposent sur l'ordre des mots dans l'écriture, comme dans "Un pour tous, tous pour un".
De même pour les palindromes syllabique au niveau de la prononciation par syllabes, comme dans "Laconique Nicolas" correspondant à la suite syllabique "la" "ko" "ni" "ke" "ni" "ko" "la".
De même pour les palindromes phonétiques au niveau de la prononciation par phonèmes, comme dans "Il aima Amélie" correspondant à la suite phonétique "i" "l" "é" "m" "a" "a" "m" "é" "l" "i".
De même pour les palindromes numériques au niveau de l'écriture, comme dans la date "02/02/2020".
De même pour les palindromes rotationnels qui se lisent de manière identique après pivotement de l'ensemble d'un demi-tour, comme dans le mot "inoui".
De même pour les palindromes miroirs qui se lisent de manière identique après réflexion dans un miroir.
De même pour les palindromes musicaux au niveau des notes de la phrase musicale.

Les palindromes listés ci-dessous sont exclusivement des palindromes orthographiques de langue française, où l'on ne tient pas compte de la casse (majuscules/minuscules), des signes diacritiques (accent, tréma, cédille, tilde, etc.), des espaces et des signes de ponctuation (point, virgule, tiret, parenthèse, etc.).

B5.2. Phrases palindromes attribuées :

Les plus belles phrases palindromes de langue française, attribuées à un auteur, sont les suivantes :

A Cuba, Anna a bu ça (Gérard Durand).
A Laval, elle l'avala (Michel Laclos).
A l'étape, épate-la ! (Louise de Vilmorin).
A révéler mon nom, mon nom relèvera (Edmond Rostand, dans Cyrano de Bergerac).
Ce satrape repart à sec (Pierre Bailly).
C'est sec (Roger Cornaille).
Eh ! ça va la vache ? (Louise de Vilmorin).
Elisa, là, à l'asile (Lennig Gullon).
Elu par cette crapule (Charles Cros).
Emile-Eric, notre valet, alla te laver ton ciré élimé (Georges Perec).
Engage le jeu que je le gagne (Alain Damasio).
En nos repères, n'insère personne (Dominic Bergeron).
En route je tourne (Roger Cornaille).
Eric, notre valet, alla te laver ton ciré (Jacques Capelovici).
Esope reste ici et se repose (Jacques Capelovici).
Etel, un port trop nu, l'été (Claude Gaignière).
Et la Marine va venir à Malte (attribué à Victor Hugo).
Et Luc colporte trop l'occulte (Michel Laclos).
Et Tesio, né borné et naïf, emporte une vedette devenue trop méfiante en robe noisette (Francis Pacherie).
Karine égarée rage en Irak (Gérard Durand).
Karine libre à Erbil en Irak (Christophe L.)
La Marine en ira mal (attribué à Victor Hugo).
La mariée ira mal (Louise de Vilmorin).
L'âme des uns n'use de mal (Etienne Pasquier).
L'amer vin enivre mal (Jean T.).
La mère Gide digère mal (Louis Scutenaire).
L'âme sûre ruse mal (Louise de Vilmorin).
L'ami naturel ? Le rut animal ! (Louise de Vilmorin).
Lune de ma dame d'été, été de ma dame de nul (Louise de Vilmorin).
Nier est effet serein (Stéphane Susana).
Noël a trop par rapport à Léon (Sylvain Viart).
Oh ! cet écho (André Tomkins).
Par-delà le drap (Patrick Hospital).
Rions noir (Jacques Bens).
Rue Verlaine gela le génial rêveur (Jacques Perry-Salkow).
Ta bête te bat (Louise de Vilmorin).
Un art luxueux ultra nu ! (Matthieu Godbout).
Un émir fada, venu du Nevada, frime nu (Gérard Durand).

B5.3. Phrases palindromes anonymes :

Les plus belles phrases palindromes de langue française, sans auteur connu, sont les suivantes :

A l'autel elle alla, elle le tua là.
Bon sport, trop snob.
Car, tel Ali, il a le trac.
Ce mec.
essayasse.
Etna : lave dévalante.
Etre là, alerte.
Et se resservir, ivresse reste.
Ici.
Il a pâli.
Il a sali.
Karine alla en Irak.
L'âge légal.
La malade pédala mal.
L'âme d'Eve rêve de mal.
La mère puce récupère mal.
L'âne vénal.
malayalam (langue parlée en Inde).
mon nom.
Nie, reste net, serein.
Ni lac, ni patelin, ni le tapin câlin.
Oh ! Cela te perd, répéta l'écho.
ressasser.
Réussir à Paris : suer.
rotavator.
S'engager à revers : rêver à regagnes !
Sexe vêtu, tu te vexes ?
Ta belle porte s'use trop, elle bat.
Trace là mon nom à l'écart.
Un drôle de lord nu.
Un ému a son os au menu.
Un enfer bref. Né nu.
Un été nu.
Un rêve de ver nu.
Un roc lamina l'animal cornu.
Un roc si biscornu.
Zeus a été à Suez.

B5.4. Villes palindromes :

Les principales villes palindromes du monde sont les suivantes :

Allemagne : Burggrub (Bavière), Hammah (Basse-Saxe), Mussum (Rhénanie-du-Nord-Westphalie), Woddow (Brandenburg), Zeez (Mecklenburg-Vorpommern)
Angola : Seles (Cuanza Sul)
Arabie Séoudite : Al'Ula (Madinah)
Argentine : Neuquén (Patagonie)
Australie : Aramara (Queensland), Arrawarra (Nouvelle-Galles-du-Sud), Civic (Territoire de la Capitale Australienne), Glenelg (Adélaïde, Australie-Méridionale), Hattah (Victoria), Lal Lal (Victoria), Parap (Territoire du Nord), Paraparap (Victoria), Tumut (Nouvelle-Galles-du-Sud)
Belgique : Eke, Ellemelle (Province de Liège), Ere
Brésil : Aba (Bahia), Acaiaca (Minas Gerais), Aia (Ceara), Mutum (Minas Gerais)
Burkina Faso : Bob (Région du Centre-Ouest)
Canada : Elôle (Québec), Kinikinik (Alberta), Laval (Québec), Navan (Ontario), Salas (Nouvelle-Ecosse), Wakaw (Saskatchewan)
Chili : Lolol (O'Higgins)
Chine : Nan'an (Fujian)
Danemark : Dragsgard, Vellev
Egypte : Aga (gouvernement de Daqahliyya)
Espagne : Aba (Pays basque), Aja, Aya, Oco, Ollo (Navarre), Oro, Oso (Catalogne), Salas (Asturie), Saras, Senés (Andalousie), Sotos
Etats-Unis : Ada (Oklahoma, Oho, Minnesota), Ala (Alabama), Anna (Ohio, Texas, Illinois), Ava (Missouri, Illinois, New York), Capac (Michigan), Civic (Canberra), Eleele (Hawaï), Hannah (Michigan, Dakota du Sud, Caroline du Nord), Harrak (Oklahoma, Washington), Ixixi (Alaska), Kanakanak (Alaska), Kinikinik (Colorado), Level (Ohio, Maryland), Noxon (Montana), Otto (plusieurs Etats), Oto (Iowa), Remer (Minnesota), Renner (Texas), Wassamassaw (nom d'une région de Caroline du Sud)
Ethiopie : Asasa, Asosa
Finlande : Asa (Laponie), Esse, Ii (Ostrobotnie), Orö
France : Afa, Callac, Esse, Eve, Eze, Laval, Noron, Noyon, Oô, Sajas, Sanas, Saras, Savas, Sées, Selles, Senones, Serres, Sos, Sus
Grèce : Sedes, Serres
Groenland : Qaanaaq (Région Qaasuitsup)
Hongrie : Tat, Tét, Pap, Ziliz
Inde : Ara (Bihar), Aramara, Atta (Uttar Pradesh), Aya (Maharashtra), Gadag (Karnataka), Idappadi (Tamil Nadu), Itamati (Odisha), Rapar (Gujarat), Nawagawan
Iran : Barab, Basab, Kahak, Karak, Kuruk, Naran, Qoroq, Sarras, Selles, Sis, Sus, Tabbat
Irlande : Navan (Comté de Meath)
Israël : Akka, Na'an
Italie : Ala (Trentin-Haut-Adige), Ateleta (Abruzzo), Erre (Podesteria, ancien nom), Onano (Latium), Onno (Lombardie), Sennes (Tyrol du Sud), Siris (Calabre)
Japon : Aka (Fukuoka), Akasaka (Tokyo, Okayama), Ama (Shimane), Awa (Tokushima), Ono (Préfecture de Hyogo)
Mali : Tamahamat, Tassassat
Maroc : Akka, Assa
Mauritanie : Tétêt (Région de l'Adrar)
Niger : Tabadabat, Tassessat
Nigeria : Aba (Etat d'Abia), Abiriba, Apapa, Elele (Rivers), Irri, Ososo, Oyo (Etat d'Oyo)
Nouvelle-Zélande : Aka Aka (Auckland)
Pays-Bas : Ede (Province de Gueldre), Ee (Province de Groningue), Epe (Province de Gueldre)
Pologne : Wolow (Basse-Silésie)
République tchèque : Vokov
Roumanie : Anina (Judet de Caras-Severin)
Royaume-Uni : Anna (Suffolk), Eve (Ecosse), Eye (Cambridgeshire, Suffolk), Glenelg (Ecosse), Notton (West Yorkshire, Angleterre)
Russie : Aga (République de Sakha) Tommot (Iakoutie), Ulu (Iakoutie), Yessey (Krasnoïarsk)
Sénégal : Matam (Région de Matam)
Suède : Abba (Province de Dalécarlie), Dörröd, Kivik, Murum
Suisse : Planalp (Obwald)
Thaïlande : Nan (Province de Nan)

B5.5. Prénoms palindromes :

Les principaux prénoms palindromes sont les suivants :
Légende : (*) indique les prénoms palindromes les plus courants en France (nées en France ou recensées dans la base "Prénoms" de l'Insee depuis 1900).

Prénoms féminins :
Ada (*), Adda
Aa
Anevena
Anina
Anona
Arezera
Afifa
Aviva
Aia, Aya
Arora
Atta
Ece
Elle (*)
Eve (*)
Hawah, Hawwah
Immi
Ireri
Ivi
Izzi
Layal
Lenel
Malayalam
Maram
Okko
Viv

Prénoms masculins :
Aba, Abba
Alla
Aoloa
Bob (*)
Did
Efe
Lehel
Nan
Natan (*), Nattan
Nayan
Neven
Odo
Oto, Otto (*)
Reber
Reinier
Sabas
Savas
Talat, Tanat

Prénoms mixtes :
Aja (*)
Ama (*), Amma
Ana (*), Anna (*), Anena, Hannah (*)
Ara
Asa
Ava (*), Awa
Axa
Aza, Azza, Aziza
Civic
Ebbe
Ede
Eme, Emme (*)
Görög
Kajak, Kayak
Lil (*), Lyl
Noon
Nosson
Ono
Siris
Uru
Yay
Zaz

B5.6. Palindromes de mots :

Les palindromes de mots sont des phrases qui se lisent à l'identique de droite à gauche et de gauche à droite au niveau des mots, indépendamment de la casse (majuscules/minuscules) et des signes de ponctuation (point, virgule, tiret, parenthèse, etc.), comme dans les exemples suivants :
Un pour tous, tous pour un
Papa aime maman, maman aime papa
Nous avions les avions, nous !
Pierre baise à Baise-Pierre

Certains palindromes de mots, moins stricts, acceptent l'omission des signes diacritiques (accent, tréma, cédille, tilde, etc.), comme dans les exemples suivants :
La juste est juste là
La foule, foule-là !
Saint-Pierre a marié Marie à Pierre Saint

B5.7. Palindromes numériques :

Les plus beaux palindromes numériques sont les suivants [PAL][VIL] :

02-02-2020
21-12-2112
121 = 38 + 83 = 121
12 345 678 987 654 321 qui est le carré du nombre palindromique 111 111 111
982 623 644 294 744 275 088 611 239 676 071 787 170 676 932 116 880 572 447 492 446 326 289 qui est le carré du nombre non palindromique 31 346 828 297 209 660 045 268 842 120 992 233 (5 juillet 2024 - Patrick De Geest)
1 030 607 060 301 qui est le cube du nombre palindromique 10 101
1 331 000 039 930 000 399 300 001 331 qui est le cube du nombre palindromique 1 100 000 011
10 662 526 601 qui est le cube du nombre non palindromique 2 201

B5.8. Palindromes rotationnels :

Les palindromes rotationnels (appelés aussi "ambigrammes rotationnels") sont des mots ou des phrases qui se lisent de manière identique après pivotement de l'ensemble d'un demi-tour.
Cette propriété concerne exclusivement les caractères suivants [AMB][DEL] :
Chiffres : 0, 1, 8 qui restent invariants par rotation, et 6/9 qui est une paire de rotation l'un de l'autre.
Signes de ponctuation : - : () [] {} qui restent invariants par rotation.
Symboles : + - / x = ≠ ∞ \ ∫ ⊗ # $ % | θ ι ο χ qui restent invariants par rotation.
Lettres majuscules : H, I, N, O, S, X, Z qui restent invariantes par rotation, et M/W qui est une paire de rotation l'une de l'autre.
Lettres minuscules : i, l, o, s, x, z qui restent invariantes par rotation, et a/e, b/q, d/p, h/y, m/w, n/u qui sont des paires de rotation l'une de l'autre.

Les plus beaux palindromes rotationnels sont les suivants :
NON
SOS
SONOS
NOW NO SWIMS ON MON (qui signifie "Maintenant plus de piscine le lundi")
NeW MaN
aie
axe
aune
yeah
apode
inoui
sales
saxes
suons
nounou
salles
saisies
saillies
elle alla
andin basnoda a une épouse qui pue (Georges Perec).

A noter que certains mots peuvent donner un autre mot par rotation d'un demi-tour. Exemples :
91 = 90 + 01 / 10 + 06 = 19
NOM/WON
NOS/SON
las/sel
epis/sida
eues/sana
iles/sali
oued/pano
sans/sues
ailes/salie
aillé/allié
esses/sassa
assassins/suissesse
le pou / nodal

A noter également que certains mots peuvent donner le même mot ou un autre mot par rotation d'un quart de tour. Exemples :
Sens anti-horaire (où les majuscules C E H I M N O X Z deviennent respectivement U W I H E Z O X N) :
OHIO/OHIO
MON/ZOE
ZOE/WON
con/cou
Sens horaire (où les majuscules E H I N O U W X Z deviennent respectivement M I H Z O C E X N) :
OIE/OHM
ZOE/NOM

B5.9. Palindromes miroirs :

Les palindromes miroirs sont des mots ou des phrases qui présentent une symétrie axiale, horizontale ou verticale, et se lisent de manière identique après réflexion dans un miroir tenu horizontalement ou verticalement.
La symétrie horizontale inverse le haut et le bas, tout en conservant la gauche et la droite ainsi que l'ordre des lettres. BEC dans un miroir horizontal reste BEC
La symétrie verticale inverse la gauche et la droite ainsi que l'ordre des lettres au sein du mot, tout en conservant le haut et le bas. TOUT dans un miroir vertical devient TUOT
Ces propriétés de symétrie concernent exclusivement les caractères suivants [AMB][DEL] :

Symétrie horizontale :
Chiffres : 0, 1, 3, 8
Signes de ponctuation : . - : () [] {}
Symboles : + - x = > < ∑ ∞ ∫ ⊗ | € ε θ ι κ ο χ
Lettres majuscules : B, C, D, E, H, I, K, O, X
Lettres minuscules : c, i, k, l, o, x

Symétrie verticale :
Chiffres : 0, 1, 8
Signes de ponctuation : . - : " '
Symboles : + - ± x = * ∏ ∞ ⊗ _ | γ θ ι ν ο π τ υ χ ψ ω
Lettres majuscules : A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y
Lettres minuscules : i, l, m, o, u, v, w, x

Exemples de palindromes miroirs à symétrie horizontale :
BEC
BICHE
DIODE
EXCEDEE
kilo

Exemples de palindromes miroirs à symétrie verticale :
TOT
AVIVA (3ème personne du singulier du passé simple du subjonctif du verbe aviver MAOAM (marque de bonbons pâte à mâcher d'origine allemande)
MATAM (ville du Sénégal)
TAMAT (3ème personne du singulier de l'imparfait du subjonctif du verbe tamer)
TATAT (3ème personne du singulier de l'imparfait du subjonctif du verbe tâter)
TAXAT (3ème personne du singulier de l'imparfait du subjonctif du verbe taxer)
HAITI, AH !
MOT A TOM
wow (interjection d'origine anglaise exprimant la surprise ou l'émerveillement)

B5.10. Palindromes musicaux :

Les palindromes musicaux sont des séquences sonores construites de manière à rester identique lorsqu'elles sont lues dans un sens ou dans l'autre, selon deux types possibles de symétrie :
- La rétrogradation (B), qui consiste à rejouer la succession des notes (A) en ordre inverse dans le temps. Exemple (voir Figure ci-dessus) : la séquence originale Do Ré Mi Fa Sol La Si La Sol Fa engendre la séquence inverse Fa Sol La Si La Sol Fa Mi Ré Do.
- Le renversement (C), qui consiste à rejouer la succession des notes en inversant la direction des intervalles entre ces notes autour d'un axe horizontal imaginaire. Exemple (voir Figure ci-dessus avec Do choisi comme point de référence de l'axe horizontal) : la séquence Do Ré Mi Fa Sol La Si La Sol Fa engendre la séquence inverse Do Sib Lab Sol Fa Mib Réb Mib Fa Sol.
- La rétrograde du renversement (D), qui consiste à combiner ces deux procédés. Exemple (voir Figure ci-dessus) : la combinaison des deux exemples précédents engendre la séquence Sol Fa Mib Réb Mib Fa Sol Lab Sib Do.

Attention : le renversement palindromique (C) est différent du renversement d'un intervalle ou d'un accord en musique.

Selon les compositeurs, les morceaux A, B, C et D peuvent êtres mixés en séquence ou en superposition. Par exemple :
Chez Guillaume de Michaut ("Ma fin est mon commencement") : superposition A + B, où la voix du Ténor fait partie intégrante de A.
Chez J.S. Bach (Offrande musicale, canon cancrizans ou canon per motum contrarium) : superposition A + B ou parfois superposition A + D
Chez Haydn (symphonie n 47, menuet du Palindrome) : séquence A puis B puis C puis superposition A + D

B5.11. Sources relatives aux Palindromes :

[AMB] Wikipedia - Ambigramme
[DEL] Jean-Paul Delahaye, Ambigrammes, revue Pour la Science, N 323, Septembre 2004
[DUR] Gérard Durand, Palindromes en folie
[PAL] The Palindrome, Palindrome ?
[QUI] Quillbot, Palindromes
[RED] reddit, Quelle est la plus grande ville du monde qui porte un nom palindromique ?
[STA] StarinuX, Liste de palindromes
[VIL] Gérard Villemain, Langue - Palindromes - Villes
[VIL] Gérard Villemain, Formes- Palindromes - Introduction
[VIL] Gérard Villemain, Formes - Palindromes - Dates
[VIL] Gérard Villemain, Formes- Palindromes - Carrés
[VIL] Gérard Villemain, Formes- Palindromes - Cubes
[WIK] Wikipedia, Palindrome
[WIK] Wikipedia, Liste des palindromes en français
[WIK] Wikipedia, Palindrome (multilangues)

B6. Tours de magie

Voici une collection de tours de magie spectaculaires.

Sommaire :

1. Tours de magie avec cordes ou élastiques
2. Tours de magie avec cartes à jouer
3. Tours de magie avec des nombres
4. Sources

B6.1. Tours de magie avec cordes ou élastiques :

Voici quelques tours spectaculaires utilisant des cordes, des élastiques ou rien que les mains.

1. Mains retournées
2. Echange de piles entre deux mains
3. La bague voyageuse
4. Elastique sauteur entre doigts
5. Elastique sauteur entre mains
6. Elastiques entremêlés
7. Les lacets fous
8. Evasion avec mains liées

B6.1.1. Mains retournées :

Ce tour est une expérience de psychologie cognitive populaire.
On demande à un spectateur de croiser les bras, de joindre les deux mains, paume contre paume, en entrelaçant les doigts, puis de retourner l'ensemble en le remontant par l'intérieur.
Cette position un peu inconfortable expose alors les deux rangées de doigts vers le haut (voir Figure ci-dessus).
On désigne alors un doigt spécifique sans le toucher, et on demande au spectateur de le lever vite et sans réfléchir.
Le spectateur lève alors fréquemment le doigt symétrique opposé.
Cette erreur vient d'un conflit entre une représentation interne des doigts, perturbée par la posture inhabituelle, et les commandes motrices automatiques, prévues pour des mains en position normale. La vision pourrait corriger, mais pas assez vite lorsqu'on demande une réponse immédiate.

B6.1.2. Echange de piles entre deux mains :

Ce tour de dextérité consiste à échanger deux piles rondes AA d'une main à l'autre, sans lâcher les piles ni utiliser de trucage.
La manipulation est simple et rapide, mais difficile à reproduire par le spectateur.
Les étapes sont les suivantes (voir Figure ci-dessus, cf. [PRA][ASH]) :
1. Tenir dans chaque main une pile ronde AA au creux du pouce et de l'index, la pile étant pincée en son milieu, un peu inclinée vers le poignet et cul (pole négatif) vers la paume.
2. Mettre les mains face au spectateur, paumes cachées, en position tête-bêche, doigts à l'horizontale et dans un plan vertical.
3. Tourner la main droite d'un quart de tour dans le sens anti-horaire.
4. Rapprocher les deux mains l'une de l'autre, en gardant les doigts parallèles, le pouce droit venant glisser sous le pouce gauche.
5. Poser chaque pouce sur le cul de chaque pile et boucler avec chaque majeur venant se poser sur l'autre extrémité des piles (pole positif).
6. Pincer chaque pile entre pouce et majeur, puis écarter doucement chaque main.
7. Tourner légèrement les deux mains sur elles-mêmes afin de présenter au spectateur les deux piles en position verticale.
8. Ramener les piles en position initiale (étape 1) en inversant les étapes.

A noter : Au lieu de pincer les piles entre pouce et majeur, on peut aussi le faire entre pouce et index (comme montré sur la Figure ci-dessus), mais cette position de doigts lors du bouclage croisé (étape 5) est plus forcée et moins confortable.

B6.1.3. La bague voyageuse :

1. Ce tour spectaculaire nécessite une bague (ou un anneau) et un élastique coupé, de longueur 10 cm environ et de couleur pas trop voyante (voir Figure ci-dessus, cf. [MIR]).
2. Enrouler l'élastique dans votre main gauche en laissant dépasser de 1 cm environ l'extrémité, la pincer fermement entre pouce et index, puis passer l'élastique dans la bague.
3. Saisir l'élastique entre pouce et index de la main droite, le tendre au maximum et en l'inclinant légèrement vers le haut. La bague vient buter naturellement contre la main gauche.
4. Sans bouger aucune main, la bague se met alors à monter doucement le long de l'élastique.
Solution : après tension de l'élastique, le laisser filer doucement entre pouce et index de la main gauche, ce qui fait monter la bague.

B6.1.4. Elastique sauteur entre doigts :

Ce tour de magie nécessite un petit élastique de couleur voyante.
Les étapes sont les suivantes (voir Figure ci-dessus, cf. [CAR2]) :
1. Face au spectateur, présenter l'élastique au-dessus d'une main verticale.
2. Passer l'élastique autour de l'index et du majeur de cette main.
3. Coller doigts et pouce contre l'élastique et fermer le poing en le disant.
4. Souffler sur les doigts et réouvrir le poing. L'élastique saute soudainement et vient entourer les deux autres doigts.
Explications : juste avant la fermeture du poing, saisir l'élastique entre le pouce et l'index de l'autre main (5a), le-tirer rapidement vers le bas jusqu'en bas de paume (5b), fermer le poing (5c), déposer l'élastique à la base des quatre ongles des doigts, en allant de l'auriculaire à l'index (5d). Puis ouvrir le poing (5e).
Amélioration : pour mieux cacher cette manipulation secrète, avant la fermeture du poing, saisir l'élastique, le tirer en arrière avec l'index en plaquant la paume sur le poignet, pouce et autres doigts face au spectateur, fermer le poing, baisser les bras sous la table, déposer l'élastique sur les doigts, reformer le placage au poignet, remontrer l'ensemble inchangé au spectateur. Puis ouvrir le poing.

B6.1.5. Elastique sauteur entre mains :

Ce tour de magie nécessite deux élastiques de même couleur et assez longs.
Les étapes sont les suivantes (voir Figure ci-dessus, cf. [MAGE]) :
1. Présenter votre paume ouverte au spectateur, avec un élastique entourant le haut du pouce et la base des quatre autres doigts.
2. Avec l'index de l'autre main, décoller l'élastique tout autour de la main pour bien montrer que l'élastique est normal.
3. Présenter l'autre main en position tête-bêche, et tapoter doigts contre doigts.
4. Lever le pouce. L'élastique saute soudainement sur les quatre doigts de l'autre main.
Solution : préparer l'élastique comme suit :
5a. Passer l'élastique autour du poignet, côté paume de la main, puis au creux entre pouce et index.
5b. Serrer fortement le pouce contre l'index pour coincer l'élastique, puis retourner la main, paume vers le haut.
5c. Faire passer l'élastique entre haut du pouce et index en maintenant la pression.
5d. Retourner la main, paume vers le bas, puis passer la boucle de l'élastique autour des quatre doigts.
5e. Retourner à nouveau la main, paume vers le haut, l'élastique se trouvant à la base des quatre doigts.
5f. Tirer un peu l'élastique pour le faire passer au-dessus du haut du pouce.
5g. Porter un second élastique autour du poignet pour camoufler la préparation secrète.
La préparation est maintenant achevée et le tour peut commencer devant un spectateur.

B6.1.6. Elastiques entremêlés :

Ce tour de magie nécessite deux petits élastiques identiques et de même couleur.
Les étapes sont les suivantes (voir Figure ci-dessus, cf. [JER]) :
1. Tenir un élastique verticalement entre le pouce et l'index de la main gauche, et un autre entre pouce et majeur de la main droite, les deux élastiques étant entremêlés.
2. Manoeuvrer les deux mains en les rapprochant/éloignant et aussi en les faisant pivoter en sens inverse, pour montrer au spectateur que le système est bloqué.
3. Ecarter les mains soudainement. Les deux élastiques se trouvent libérés.
Solution :
4a. Au moment du pivotement des mains, passer l'index droit, qui est libre, dans la boucle du pouce droit.
4b. Enfoncer l'index droit et le passer derrière l'élastique de gauche.
4c. Retirer le majeur droit de l'élastique de droite.
4d. L'élastique passe automatiquement sur l'index droit.
4e. Recoller immédiatement l'élastique contre l'autre, afin de simuler le blocage.
4f. Ecarter les mains soudainement.
Solution améliorée (cf. [PAU][VAL]) :
A l'étape 1, tenir l'élastique horizontalement (et non verticalement), ce qui évite le passage derrière l'élastique de gauche à l'étape 4b.

B6.1.7. Les lacets fous :

Ce tour spectaculaire est le suivant :
1. Deux personnes sont debout face à face (voir Figure ci-dessus, cf. [EIT]).
Chacune a les poignets reliés par une corde d'environ 1 mètre, formant une boucle peu serrée autour de chaque poignet et fermée par un noeud supposé indémontable.
Les deux cordes sont entrelacées, ce qui relie les deux personnes.
Comment peuvent-elles se séparer sans couper la corde, sans défaire les noeuds et sans faire glisser la corde le long des mains ?
Solution :
2. Faire une Ganse (boucle ouverte en forme de U allongé) avec sa propre corde derrière la corde du partenaire.
3. Passer la Ganse à travers la boucle entourant le poignet du partenaire, en allant du bras vers les doigts.
4. Passer la Ganse par-dessus la main du partenaire.
5. Tirer sur la corde : celle-ci se dégage miraculeusement et les deux personnes se trouvent alors complètement séparées.

B6.1.8. Evasion avec mains liées :

Ce tour de magie nécessite seulement une corde de 70 cm de long environ.
Les étapes sont les suivantes (voir Figure ci-dessus, cf. [CAR1]) :
1. Placer une table entre vous et le spectateur, et montrer une "corde bien solide" tendue entre vos deux mains.
2. Poser la corde sur la table, parallèle au spectateur.
3. Poser votre main gauche au milieu de la corde, paume vers le haut.
4. Faire passer le brin droit de la corde, à gauche par-dessus le poignet, et devant le brin gauche.
5. Faire passer le brin gauche de la corde à droite par-dessus le poignet, sans croiser l'autre brin.
6. Poser la main droite sur la main gauche, paume vers le dessous.
7. Demander au spectateur de prendre les deux brins libres et de les nouer au dessus des mains par trois noeuds successifs bien serrés.
8. Lever vos bras en montrant vos deux mains bien attachées.
9. Descendre vos mains derrière la table puis aussitôt... ressortir votre main droite libre.
10. Redescendre la main libre derrière la table puis aussitôt... ressortir à nouveau les deux mains attachées.
11. Recommencer une nouvelle fois la séquence 9 à 10.
12. Descendre vos mains derrière la table puis aussitôt... ressortir les deux mains libérées.
Explications : derrière la table, faire un quart de tour en sens inverse à chaque poignet (13a, 13b, 13c, 13d) et retirer la main droite de la boucle (13e). Inverser la manoeuvre pour réattacher les deux mains ensemble.

A noter : une version plus sophistiquée de ce tour existe (voir [HAF]).

B6.2. Tours de magie avec cartes à jouer :

Voici quelques tours spectaculaires utilisant des cartes à jouer et réalisables par des enfants.

1. Les valets voleurs
2. Les quatre rois
3. Les quatre as
4. La carte retrouvée
5. Mémorisation magique
6. Le tour des 27 cartes
7. Le bonneteau

B6.2.1. Les valets voleurs :

Ce tour nécessite un jeu de 32 cartes :
1. Sortir trois valets d'un jeu de cartes et laisser le paquet retourné sur la table (faces cachées).
2. Raconter l'histoire : "Trois voleurs veulent s'introduire dans une maison...
3. Le premier trouve un soupirail et passe par la cave (mettre un valet sous le paquet).
4. Le second monte sur le toit et passe par le grenier (mettre un valet sur le paquet).
5. Le troisième trouve une fenêtre ouverte et passe au rez-de-chaussée (insérer un valet dans le paquet)".
6. Demander au spectateur de "couper" le paquet.
7. Annoncer que les trois valets vont se retrouver ensemble et étaler le jeu en éventail pour le vérifier.
Solution : Préparer le paquet en mettant un valet (le quatrième) sur le dessus. Les trois valets réunis à la fin du tour ne sont pas les mêmes mais cela échappe souvent au spectateur.

B6.2.2. Les quatre rois :

Ce tour est une variante du tour "Les trois voleurs". Il nécessite un jeu de 32 cartes :
1. Présenter les quatre rois en éventail devant le spectateur.
2. Les empiler sur le dessus du paquet restant.
3. Reprendre une à une les quatre cartes du dessus et les insérer dans le paquet.
4. Demander au spectateur de "couper" le paquet en deux parties approximativement égales.
5. Annoncer que les quatre rois vont se retrouver ensemble et étaler le jeu en éventail pour le vérifier.
Solution : avant de commencer le tour, rajouter discrètement une pile de quatre cartes quelconques sous l'éventail des quatre rois, bien cachée par le premier roi (voir Figure ci-dessus).

B6.2.3. Les quatre as :

Ce tour nécessite un jeu de 32 cartes :
1. Donner au spectateur un jeu de cartes pour battre, puis reprendre le jeu et présenter-le verticalement, face au spectateur.
2. Demander-lui de prendre un des as et de le mettre contre sa poitrine, face bien cachée.
3. Passer le jeu derrière votre dos, puis remontrer le jeu au spectateur en lui demandant de replacer son as dans le jeu.
4. Redonner au spectateur le jeu de cartes pour battre, puis reprendre le jeu et sortir l'as choisi.
Solution :
- Préparer le jeu de cartes en mettant la "pointe" de chaque as situé au centre de la carte selon la même orientation (pique, coeur, trèfle), l'as de carreau étant symétrique (voir Figure ci-dessus).
- Derrière votre dos, tourner le jeu de cartes d'un demi-tour (haut/bas inversés).
- L'as choisi est l'as de carreau si aucune "pointe" n'est inversée, et l'as à "pointe" inversée dans le cas contraire.
- Attention : sortir du paquet l'as choisi, pouce dirigé vers soi, puis présenter la carte au spectateur, pouce dirigé vers lui (ce qui inverse le sens de la carte afin de pouvoir refaire le tour). Remettre ensuite la carte dans le paquet, pouce dirigé vers le spectateur

A noter : au niveau des figures (valet, dame, roi et joker), des cartes numériques (de l'as au dix) et des éventuels index disposés en coins opposés, les jeux de 54 cartes français standards post-19e siècle présentent généralement des cartes symétriques par rotation d'un demi-tour. Il existe 18 exceptions : les deux Joker (rouge et noir), les quatre "sept" (un par couleur) et quatre triplets de cartes (pique, coeur, trèfle) correspondant aux as, trois, cinq et neuf.

B6.2.4. La carte retrouvée :

Ce tour est une généralisation spectaculaire et peu connue du tour "Les quatre as". Il nécessite un jeu de 32 cartes :
1. Donner au spectateur un jeu de cartes pour battre, puis reprendre le jeu et présenter-le verticalement, face au spectateur.
2. Demander-lui de prendre une carte quelconque et de la mettre contre sa poitrine, face bien cachée.
3. Passer le jeu derrière votre dos, puis remontrer le jeu au spectateur en lui demandant de replacer sa carte dans le jeu.
4. Redonner au spectateur le jeu de cartes pour battre, puis reprendre le jeu, présenter-le en éventail, faire défiler les cartes une par une rapidement et sortir la carte choisie.
Solution :
- Tout jeu de carte n'est pas parfaitement imprimé au milieu de chaque carte. Le bandeau blanc séparant le bord supérieur de la carte et le haut de sa partie imprimée (petit côté du rectangle entourant chaque figure, ou tête de chaque nombre) n'est pas identique entre le haut et le bas de la carte. Sauf exception, chaque carte possède donc un petit bandeau et un grand bandeau.
- Préparer le jeu de cartes en mettant le petit bandeau partout du même côté. Si le bandeau est quasi-identique entre haut et bas de carte, éliminer la carte du paquet.
- Derrière votre dos, tourner le jeu de cartes d'un demi-tour (haut/bas inversés).
- Lors du défilement des cartes, viser le bandeau du haut. La carte choisie est celle dont le bandeau change subitement de taille (petit/grand) par effet stroboscopique.
- Attention : sortir du paquet la carte choisie, pouce dirigé vers soi, puis présenter la carte au spectateur, pouce dirigé vers lui (ce qui inverse le sens de la carte afin de pouvoir refaire le tour). Remettre ensuite la carte dans le paquet, pouce dirigé vers le spectateur.

B6.2.5. Mémorisation magique :

Ce tour spectaculaire nécessite un jeu de 32 cartes :
1. Battre le jeu de cartes.
2. Passer le jeu derrière votre dos, faire passer la carte du dessous sur le dessus du jeu et présenter verticalement le jeu au spectateur, du côté de cette carte.
3. Annoncer la carte et recommencer à l'étape 2.
4. Continuer ainsi avec toutes les cartes du paquet.
Solution :
- A la fin du battage des cartes, mémoriser discrètement la dernière carte sur le dessous du paquet.
- Pendant la présentation du jeu au spectateur, mémoriser la carte du dessous qui vous fait face.

B6.2.6. Le tour des 27 cartes :

Ce tour purement mathématique nécessite un jeu de 32 cartes :
1. Faire un paquet de 27 cartes exactement.
2. Présenter au spectateur le paquet en éventail. Demander-lui de retenir mentalement une carte C, puis de donner un nombre N de 1 à 27. Calculer secrètement le nombre R = N - multiples de 9, en ajustant R entre 1 et 9 (exemples : si N = 18, alors R = 9 ; si N = 22, alors R = 4).
3. Retourner le paquet, faces cachées, et former trois colonnes de neuf cartes chacune, en retournant les cartes sur la table, faces visibles, par rangées horizontales de trois cartes, de gauche à droite, et de haut en bas (voir Figure ci-dessus).
4. Demander au spectateur de désigner la colonne dans laquelle se trouve sa carte, puis empiler les cartes, faces visibles et colonne par colonne, en ramassant la colonne désignée en position p = R - multiples de 3, en ajustant p entre 1 et 3 (exemple : si R = 4, alors p = 1). Plus simplement, la colonne p se "voit" immédiatement sans aucun calcul en répartissant R dans un carré 3x3, par rangées horizontales de 3, de gauche à droite, et de haut en bas (voir Figure ci-dessus).
5. Retourner le paquet et former à nouveau trois colonnes de neuf cartes chacune, comme précédemment, et redemander la colonne. Empiler les cartes, faces visibles et colonne par colonne, en ramassant la colonne désignée en position q = 1 + Ent[(R - 1)/3] (exemple : si R = 4, alors q = 2). Plus simplement, la colonne q se "voit" immédiatement sans aucun calcul en répartissant R dans un carré 3x3, par colonnes verticales de 3, de haut en bas, et de gauche à droite (voir Figure ci-dessus).
6. Retourner le paquet et former à nouveau trois colonnes de neuf cartes chacune, comme précédemment, et redemander la colonne. Repérer la carte C située dans cette colonne en position R. Empiler les cartes, faces visibles et colonne par colonne, en ramassant la colonne désignée en position r = 1 + Ent[(N - 1)/9] (exemple : si N = 22, alors r = 3). Plus simplement, la colonne r se "voit" immédiatement sans aucun calcul en répartissant N dans un rectangle 9x3, par colonnes verticales de 9, de haut en bas, et de gauche à droite (voir Figure ci-dessus).
7. Retourner le paquet et poser les cartes une à une sur la table, faces cachées, en comptant à partir de 1. A la Nème carte, annoncer la carte C et la retourner.

Démonstration :

Soit p, q et r les numéros d'ordre (entre 1 et 3) de ramassage de la colonne désignée, à chaque étalage des cartes en trois colonnes.
Soit N_p, N_q et N_r la position dans le paquet (entre 1 et 27) de la première carte du bloc contenant la carte C, après avoir ramassé la colonne désignée p, q ou r, et reformé le paquet.
A chaque étalage, on ne détermine pas la position exacte de la carte C dans le paquet, mais la position de la première carte du bloc qui la contient. La taille de ce bloc est divisée par 3 à chaque étape.

Au premier étalage, le paquet de 27 cartes est divisé en 3. Après avoir ramassé la colonne p et reformé le paquet, la carte C se trouve mécaniquement dans un bloc continu de 9 cartes, dont la position de la première carte vaut :
N_p = 1 + 9(p - 1), correspondant à l'intervalle I_p = [N_p, N_p + 8].
Exemples :
si p = 1, I_p = [1, 9].
Si p = 2, I_p = [10, 18].
Si p = 3, I_p = [19, 27].

Au second étalage, ce bloc de 9 cartes est divisé en 3. Après avoir ramassé la colonne q et reformé le paquet, la carte C se trouve mécaniquement dans un bloc continu de 3 cartes, dont la position de la première carte vaut :
N_q = 9(q - 1) + 1 + (N_p - 1)/3 = 1 + 9(q - 1) + 3(p - 1), correspondant à l'intervalle I_q = [N_q, N_q + 2].
Exemples :
si p = 1 et q = 1, I_q = [1, 3].
Si p = 1 et q = 2, I_q = [10, 12].
Si p = 2 et q = 1, I_q = [4, 6].
Si p = 2 et q = 2, I_q = [13, 15]
Si p = 3 et q = 1, I_q = [7, 9]

Au troisième étalage, ce bloc de 3 cartes est divisé en 3. Après avoir ramassé la colonne r et reformé le paquet, la carte C se trouve mécaniquement dans un bloc de 1 seule carte, dont la position vaut :
N_r = 9(r - 1) + 1 + (N_q - 1)/3 = 1 + 9(r - 1) + 3(q - 1) + (p - 1), correspondant à l'intervalle I_r = [N_r, N_r].
Exemples :
si p = 1, q = 1 et r = 1, I_r = [1, 1].
Si p = 1, q = 1 et r = 2, I_r = [10, 10].
Si p = 1, q = 2 et r = 1, I_r = [4, 4].
Si p = 1, q = 2 et r = 2, I_r = [13, 13].
Si p = 2, q = 1 et r = 1, I_r = [2, 2].
Si p = 2, q = 1 et r = 2, I_r = [11, 11].
Si p = 2, q = 2 et r = 1, I_r = [5, 5].
Si p = 2, q = 2 et r = 2, I_r = [14, 14].
Si p = 3, q = 1 et r = 1, I_r = [3, 3].

Compte tenu de l'expression de N_r, le nombre N en fin de tour vérifie donc la formule : N - 1 = 9(r - 1) + 3(q - 1) + (p - 1)
Ce tour n'est donc qu'un décodage du nombre (N - 1) en base 3, colonne par colonne, où chaque choix de colonne fournit un des trois chiffres ternaires.

Compte tenu de cette formule, les expressions simplifiées de p, q et r sont alors les suivantes :
On pose R = (N - 1) mod 9 + 1 = N - multiples de 9, en ajustant R entre 1 et 9
p = (N - 1) mod 3 + 1 = (R - 1) mod 3 + 1 = R - multiples de 3, en ajustant p entre 1 et 3 = colonne du carré p(R) en Figure ci-dessus.
q = Ent[(N - 1)/3] mod 3 + 1 = Ent[(R - 1)/3] + 1 = colonne du carré q(R) en Figure ci-dessus.
r = Ent[(N - 1)/9] + 1 = colonne du rectangle r(N) en Figure ci-dessus.

B6.2.7. Le bonneteau :

  

Le bonneteau est un jeu de cartes pratiqué dans la rue, où un joueur doit retrouver la carte rouge parmi trois cartes après un mélange rapide.
Le matériel requis est le suivant :
- une tablette rigide ou un carton épais servant de table.
- trois cartes : deux noires (par exemple : le roi de pique et le roi de trèfle) et une rouge (la dame de coeur).
- de l'argent liquide pour les mises du joueur.
Le bonneteur est un manipulateur professionnel. Il présente le jeu, mélange les cartes et dirige la partie.
Le joueur mise une somme d'argent et désigne la carte qu'il pense être la rouge.
Les barons sont les complices du bonneteur. Ils font semblant de jouer et de gagner pour inspirer confiance, attirent les passants, surveillent la police et apaisent les perdants.
En France, le bonneteau est interdit, car il s'inscrit dans un jeu de hasard réalisé sur la voie publique avec mise d'argent (article L. 324-1 du Code de la sécurité intérieure).

Règles du jeu :
1. Le bonneteur montre les trois cartes, faces visibles, et place la rouge entre les deux noires. Les cartes sont légèrement pliées dans le sens de la longueur pour mieux les saisir par les bords courts quand elles sont faces cachées (voir Figure 1 ci-dessus [TUT]).
2. Il retourne les cartes, faces cachées, et les mélange rapidement sur la table par des mouvements linéaires.
3. Le bonneteur retourne la carte du milieu qui n'a pas changé (rouge). Il la retourne à nouveau et fais un second mélange apparemment identique au premier.
4. Le joueur mise alors une somme d'argent et désigne la carte (gauche, centre, droite) qu'il pense être la rouge.
5. Le bonneteur retourne la carte désignée. Si c'est la rouge, le joueur reçoit le double de sa mise. Sinon, la mise est perdue.
Mais en pratique, le jeu est truqué :
1. Le bonneteur commence souvent par quelques manches honnêtes et lentes, où les barons gagnent facilement pour mettre le public en confiance.
2. Dès qu'un vrai joueur participe, le bonneteur modifie ses manipulations :
- Lancer par rotation d'index : prise spécifique à deux cartes pour permettre un lancer indépendant de la carte supérieure ou inférieure. Cette technique "double pince" est idéale pour les mélanges prolongés.
- Filage : glisse discrète d'une carte sous une autre.
- Echange rapide : permutation dissimulée de deux cartes au moment de la pose.
3. Résultat : Le bonneteur garde à tout moment le contrôle de la position réelle de la rouge.

Technique de lancer par rotation d'index [TUT] :
La technique de lancer par rotation d'index consiste à relâcher discrètement la carte supérieure (noire) tout en retenant la carte inférieure (rouge).
- Position initiale : La carte supérieure (noire) est tenue entre pouce et index au niveau des deux coins. La carte inférieure (rouge) est tenue de façon identique mais entre pouce et majeur. Les deux cartes partagent un point d'appui commun au niveau du pouce, tandis qu'un petit espace en forme de coin existe entre leurs bords opposés (voir Figure 2 ci-dessus [TUT]).
- Exécution : On retourne le poignet pour montrer clairement la rouge au joueur et on se replace paume tournée vers la table. Ensuite, pendant le mouvement linéaire au-dessus de la table, l'index effectue une rotation nette mais discrète, libérant la pression exercée sur la carte supérieure (noire). Celle-ci glisse alors passivement vers l'avant, tandis que le pouce/majeur maintiennent fermement la carte inférieure (rouge).
- Fin du mouvement : La carte lancée semble suivre le continuïté du mélange et être toujours la carte inférieure.
- Double lancer à une main [TUT, 04:20] :
   - La disposition initiale des cartes sur la table, vue du joueur, est N1 R N2 (avec N = noire et R = rouge).
   - Deux cartes sont prises en double pince, d'abord N1 en carte supérieure, puis R en carte inférieure. On retourne le poignet pour montrer clairement R au joueur.
   - On effectue un premier lancer de la carte (N1) en la posant au milieu puis la carte restante (R) à gauche, ce qui transforme secrètement la disposition en R N1 N2.
   - Deux autres cartes sont prises ensuite en double pince, d'abord R en carte supérieure, puis N2 en carte inférieure. On retourne le poignet pour montrer clairement N2 au joueur.
   - On effectue un second lancer de la carte (R) en la posant à droite puis la carte restante (N2) à gauche, ce qui transforme secrètement la disposition en N2 N1 R.
   - Le joueur est doublement piégé, en pensant que R se trouve soit au milieu, soit à gauche.

Technique de mélange :
La technique standard de mélange s'exécute sur trois temps rythmés (voir Figure 3 ci-dessus et [TUT, 03:58]) :
- Temps 1 : Pose centrale. Poser au milieu l'une des deux cartes tenues en double pince en utilisant la technique de lancer par rotation d'index.
- Temps 2 : Cinq séquences successives Croiser-Ecarter :
   - Le Croiser consiste à faire passer une carte par-dessus celle située immédiatement à sa gauche (resp. à sa droite).
   - L'Ecarter consiste à déplacer une carte extérieure vers la droite (resp. vers la gauche) en créant une place vide temporaire destinée à recevoir une autre carte.
   - Les cinq séquences alternent systématiquement de côté (Gauche et Droite) selon le schéma binaire : Croiser G - Ecarter D | Croiser D - Ecarter G | Croiser G - Ecarter D | Croiser D - Ecarter G | Croiser G - Ecarter D
- Temps 3 : Croiser final. Croiser une dernière fois à Droite.
Lorsque le mélange est exécuté sans tricherie, avec lancer de la carte inférieure (rouge), la disposition initiale N1 R N2 des trois cartes reste inchangée en final, ce qui renforce l'illusion de neutralité du procédé.

B6.3. Tours de magie avec nombres :

Voici quelques tours spectaculaires utilisant des nombres.

1. Lecture de pensée
2. L'âge des enfants
3. Le tour de Maurice Dagbert

B6.3.1. Lecture de pensée :

[raconté par Clément Brizzard]

Ce tour spectaculaire est une expérience magique de lecture de pensée.
Le magicien demande à une personne de l'auditoire de penser à un nombre entier entre 1 et 100,
puis de le multiplier par 9, puis de retrancher 5, puis de faire la somme des chiffres du nombre obtenu,
puis de recommencer cette dernière opération si le résultat est supérieur à 9,
puis de convertir le résultat obtenu en une lettre de l'alphabet : A pour 1, B pour 2, C pour 3, etc.,
puis de penser (en français) à un pays d'Europe commençant par cette lettre,
puis de penser (en français) à un fruit commençant par la dernière lettre du pays d'Europe.
Le magicien annonce alors que le fruit pensé est un "kiwi". Si la personne dit que cela est faux, alors le magicien annonce que le fruit est un "kaki".
A aucun moment, la personne n'a parlé.

Explication :
Tout nombre entier N à n chiffres est de la forme c_n...c₂c₁ et peut s'écrire :
N = 10^{n - 1} c_n + ... + 100 c₃ + 10 c₂ + c₁ = (10^{n - 1} - 1) c_n + ... + 99 c₃ + 9 c₂ + (c_n + ... + c₃ + c₂ + c₁)
Donc N est de le forme : N = 9 K + somme S des chiffres de N
Si S est supérieur à 9, alors on a de même : S = 9 K' + somme S' des chiffres de S
En final, tout nombre N est donc toujours la somme d'un multiple de 9 et d'un reste compris entre 1 et 9 correspondant à la somme simple ou répétée des chiffres du nombre N.
Exemple 1 : 8 = 9 x 0 + 8, 8 étant le chiffre même du nombre 8.
Exemple 2 : 34 = 9 x 3 + 7, 7 étant la somme 3 + 4 des chiffres du nombre 34.
Exemple 3 : 38 = 9 x 4 + 2, 2 étant la somme 3 + 8 = 11 des chiffres de 38, puis la somme 1 + 1 des chiffres de 11
Si N est déjà un multiple de 9 (comme demandé par le magicien), alors ce reste vaut nécessairement 9.
Si on retranche 5 de ce N multiple de 9, alors ce reste vaut 4.
Le seul pays d'Europe commençant par la lettre D (correspondant à 4 dans l'alphabet) est le "Danemark" (en français).
Les seuls fruits courants commençant par un K (correspondant à la dernière lettre du mot "Danemark") sont le "kiwi" et le "kaki" (en français).
D'où la réponse du magicien, sans aucune lecture de pensée.

Améliorations du tour :
- Proposer de choisir N entre 1 et 10 plutôt qu'entre 1 et 100.
- Multiplier N par 10 puis retrancher N, plutôt que multiplier N par 9.
- On peut refaire le tour une seconde fois, mais avec une autre personne, et avec la modification suivante : ne pas demander un pays d'Europe mais directement un fruit commençant par la lettre de l'alphabet (ce qui donne la "Datte" correspondant au résultat 4 = D).
- On peut refaire le tour une troisième fois avec une personne quelconque, en demandant de retrancher 7 et non 5. Ensuite, ne pas demander un pays d'Europe mais directement un fruit commençant par la lettre de l'alphabet (ce qui donne la "Banane" correspondant au résultat 2 = B).

B6.3.2. L'âge des enfants :

Un père de famille parle au facteur : "J'ai trois enfants. Le produit de leur âge est égal à 36. La somme de leur âge est égal au numéro de la maison en face."
Le facteur regarde ce numéro et demande : "Il me manque une donnée pour résoudre le problème."
Le père répond : "En effet. Mon aîné est blond."
Le facteur donne alors la solution. Comment a-t-il fait ?

Solution de cette énigme :
On peut obtenir 36 de 8 manières différentes :
1 x 1 x 36 dont la somme est 38
1 x 2 x 18 dont la somme est 21
1 x 3 x 12 dont la somme est 16
1 x 4 x 9 dont la somme est 14
1 x 6 x 6 dont la somme est 13
2 x 2 x 9 dont la somme est 13
2 x 3 x 6 dont la somme est 11
3 x 3 x 4 dont la somme est 10
Le facteur ne pouvant pas conclure en voyant le numéro de la maison en face, cela indique que la somme donne plusieurs possibilités et non une seule.
Il n'y a que 13 qui est ambigue et vu qu'il n'y a qu'un seul ainé, les enfants ont donc 2, 2 et 9 ans.

B6.3.3. Le tour de Maurice Dagbert :

[entendu à la radio dans les années 1980]

Un célèbre calculateur prodige français, Maurice Dagbert, a présenté ce problème apparemment impossible :
"Choisissez un nombre entier entre 1000 et 3000 [2139 fut donné]. Je vais calculer maintenant deux listes de 17 nombres entiers chacune, telles que :
- Les sommes des nombres sont égales à 2139,
- Les sommes des carrés des nombres sont égales,
- Les sommes des cubes des nombres sont égales,
et ainsi de suite jusque la puissance sixième des nombres.
De plus, tous les nombres seront différents entre eux, que ce soit dans une liste ou entre listes."
Pour le nombre N = 2139 choisi, il énonça alors, au bout de quelques minutes seulement, les deux listes suivantes :
    Première liste (La) = [ 59, 63, 68, 82, 86, 100, 105, 109,    139, 143, 148, 156, 162, 173, 175, 185, 186 ]
    Seconde liste (Lb) = [ 60, 61, 70, 79, 89, 98, 107, 108,    140, 141, 151, 153, 164, 170, 178, 183, 187 ]
Un ordinateur confirma les calculs.
L'explication est la suivante :

1. Modélisation mathématique :
Le problème s'écrit sous forme du système d'équations S suivant, avec k = 6, n = 17 et Somme = N.
(1) Système S :
    ∑_ia_i = ∑_ib_i = Somme
    ∑_ia_i² = ∑_ib_i²
    ∑_ia_i³ = ∑_ib_i³
    ...
    ∑_ia_i^k = ∑_ib_i^k
avec :
    i = indice allant de 1 à n
    n = taille de chaque liste
    k = puissance des termes de la dernière équation
    Somme = somme des termes de la première équation
    a_i et b_i = nombres entiers positifs et tous distincts

2. Première astuce :
Chaque liste de 17 nombres est en fait une concaténation de deux sous-listes de 8 et 9 nombres chacune, vérifiant les sous-systèmes (S1) et (S2) suivants :
(21) Sous-système S1 = Système S pour k = 6, n = 8 et Somme = N1, correspondant aux listes partielles suivantes :
    L1a = [ 59, 63, 68, 82, 86, 100, 105, 109 ]
    L1b = [ 60, 61, 70, 79, 89, 98, 107, 108 ]
(22) Sous-système S2 = Système S pour k = 6, n = 9 et Somme = N2, correspondant aux listes partielles suivantes :
    L2a = [ 139, 143, 148, 156, 162, 173, 175, 185, 186 ]
    L2b = [ 140, 141, 151, 153, 164, 170, 178, 183, 187 ]
(23) Condition supplémentaire : N1 + N2 = N

3. Seconde astuce :
Chacun de ces sous-systèmes est connu en mathématique comme "Problème PTE (ou de Prouhet-Tarry-Escott)" [WIK1].
Ce problème a pour propriété remarquable d'être invariant par translation des variables [WIK1]. Si on remplace les variables a_i et b_i respectivement par (a*_i = α a_i - β) et (b*_i = α b_i - β), α et β étant deux constantes quelconques, alors les nouvelles variables sont solutions du même problème en modifiant seulement Somme par Somme* = (α Somme - n β)
Cette translation permet de normaliser les solutions, en imposant par exemple qu'elles soient positives et que le zéro y figure.

Pour S1, si on choisit α1 = 1 et β1 = 84, on obtient alors le sous-système translaté S1* comme suit :
(31) Sous-système S1* = sous-système S1 de somme N1* = N1 - 8 β1, correspondant aux listes translatées suivantes :
    L1a* = [ -25, -21, -16, -2, 2, 16, 21, 25 ]
    L1b* = [ -24, -23, -14, -5, 5, 14, 23, 24 ]
Cette solution, dite de taille paire et symétrique [WIK1], est de la forme [ -c₄, -c₃, -c₂, -c₁,    c₁, c₂, c₃, c₄ ] pour la première liste et [ -d₄, -d₃, -d₂, -d₁,    d₁, d₂, d₃, d₄ ] pour la seconde.
Cette symétrie rend automatiquement valides les équations en puissances impaires dans le sous-système S1*, ce qui se simplifie en :
Sous-système S1* :
    n = 4
    ∑_ic_i² = ∑_id_i²
    ∑_ic_i⁴ = ∑_id_i⁴
    ∑_ic_i⁶ = ∑_id_i⁶
correspondant aux listes élémentaires suivantes :
    C1 = [ c_i ] = [ 2, 16, 21, 25 ]
    D1 = [ d_i ] = [ 5, 14, 23, 24 ]

Pour S2, si on choisit α2 = 1 et β2 = 163, on obtient alors le sous-système translaté S2* comme suit :
(32) Sous-système S2* = sous-système S2 de somme N2* = N2 - 9 β2, correspondant aux listes translatées suivantes :
    L2a* = [ -24, -20, -15, -7, -1, 10, 12, 22, 23 ]
    L2b* = [ -23, -22, -12, -10, 1, 7, 15, 20, 24 ]
Cette solution, dite de taille impaire et symétrique [WIK1], est de la forme [ -c₅, -c₄, -c₃, -c₂, -c₁,    d₂, d₃, d₄, d₅ ] pour la première liste et [ -d₅, -d₄, -d₃, -d₂,    c₁, c₂, c₃, c₄, c₅ ] pour la seconde.
Cette symétrie rend automatiquement valides les équations en puissances paires dans le sous-système S2*, ce qui s'écrit :
Sous-système S2* :
    n = 5
    ∑_ic_i = ∑_id_i
    ∑_ic_i³ = ∑_id_i³
    ∑_ic_i⁵ = ∑_id_i⁵
    avec d₁ fictif = 0
correspondant aux listes élémentaires suivantes :
    C2 = [ c_i ] = [ 1, 7, 15, 20, 24 ]
    D2 = [ d_i ] = [ 0, 10, 12, 22, 23 ]

Par ailleurs, la symétrie des solutions, pour chaque sous-système S1* et S2*, rend nulles les sommes N1* et N2*, ce qui se simplifie en :
(33) N1 = 8 β1 et N2 = 9 β2
Compte tenu de la relation (23), cela donne la condition nécessaire suivante :
(34) N = 8 β1 + 9 β2
A noter que cette condition est toujours possible à obtenir, vu que 8 et 9 sont premiers entre eux.

4. Choix d'une solution pour le sous-système S1* :
Le sous-système S1* (cf relations (31)) est celui du problème PTE de taille n = 4 et de puissances spécifiques k = 2, 4 et 6.
Plusieurs solutions sont connues depuis 1913, dont les suivantes [SHU1] :
    [ 2, 16, 21, 25 ] = [ 5, 14, 23, 24 ]
    [ 7, 24, 25, 34 ] = [ 14, 15, 31, 32 ]
    [ 7, 31, 36, 50 ] = [ 18, 20, 41, 49 ]
    [ 9, 47, 49, 67 ] = [ 23, 31, 61, 63 ]
La première solution est la plus petite solution en entiers non négatifs pour ces trois puissances [SHU2].
Il est fort probable que Maurice Dagbert connaissait ces solutions et a utilisé la première.

5. Choix d'une solution pour le sous-système S2* :
Le sous-système S2* (cf relations (32)) correspond au problème PTE de taille n = 5 et de puissances spécifiques k = 1, 3 et 5.
Les solutions publiées étant rares, elles peuvent cependant être trouvées analytiquement. La démarche consiste à apparier deux à deux les éléments des deux listes élémentaires, puis à résoudre le système quadratique obtenu par une méthode appropriée, comme celle par élimination des variables.
Ces deux approches reposent sur la résolution analytique d'un système quadratique sous-déterminé de rang 2 à 5 variables, produisant une famille de solutions réelles, complétée par une courte phase d'essais successifs ciblés visant à atteindre des valeurs entières vérifiant exactement les équations.
Les étapes sont les suivantes :
1. On fixe arbitrairement 5 valeurs δ_i entières petites (par exemple entre -3 et 3) telles que ∑_i[δ_i] = 0 avec δ_i = c_i - d_i
2. On pose x_i = m_i² avec m_i = (c_i + d_i)/2 correspondant au centre local des variables c_i et d_i, ce qui induit : x_i # c_i² # d_i² # c_i d_i
où le symbole "#" signifie "très peu différent".
3. Compte tenu des identités : (c³ - d³) = (c - d)(c² + c d + d²) et (c⁵ - d⁵) = (c - d)(c⁴ + c³ d + c² d² + c d³ + d⁴), les équations 2b deviennent :
    ∑_ic_i - ∑_id_i = ∑_i[δ_i] = 0
    (∑_ic_i³ - ∑_id_i³ # 3 ∑_i[δ_i x_i]) = 0
    (∑_ic_i⁵ - ∑_id_i⁵ # 5 ∑_i[δ_i x_i²]) = 0
4. Par l'une des méthodes évoquées ci-avant, on résout le système quadratique suivant :
(50)     (∑_i[δ_i x_i] = 0) et (∑_i[δ_i x_i²] = 0)
ce qui donne une famille de solutions réelles pour x_i.
Résolution par élimination des variables :
On fixe 3 variables libres, par exemple x₁, x₂ et x₃
On élimine ensuite x₄ entre les deux équations, ce qui donne une équation de la forme : A x₅² + B x₅ + C = 0, où A, B et C sont des polynômes quadratiques explicites en x₁, x₂ et x₃, comme suit :
    A = δ₅ (δ₄ + δ₅)
    B = 2 δ₅ P
    C = P² + δ₄ Q
avec P = ∑_i=1,3[δ_i x_i] et Q = ∑_i=1,3[δ_i x_i²]
On trouve les solutions réelles x₅ = [-B ± √(B² - 4 A C)]/(2 A) et x₄ obtenu à partir de l'équation (∑_i[δ_i x_i] = 0).
5. On cherche des x_i proches du carré d'un entier ou d'un demi-entier, ce qui donne c_i = √x_i + δ_i/2 et d_i = √x_i - δ_i/2
6. On injecte les solutions entières c_i et d_i dans les équations exactes (32) pour vérification.
7. En cas de non-vérification, on fait d'autres essais en modifiant le paramétrage à deux niveaux possibles :
- Exploration des 3 paramètres libres x_i.
- Choix du vecteur des écarts δ_i.
Il est fort probable que Maurice Dagbert a obtenu lui-même les listes élémentaires (32) par cette méthode simple.

Exemple de calcul complet avec méthode d'élimination des variables :
On fixe par exemple les trois premiers nombres c_i à 1, 7 et 15, et leurs correspondants d_i à 0, 10 et 12.
Cela revient à fixer les trois premières valeurs de δ_i et de x_i.
On se fixe également (premier essai) les valeurs de δ₄ = -2 et δ₅ = 1.
On cherche alors à calculer les deux derniers nombres c₄ et c₅, et leurs correspondants d₄ et d₅
Les calculs donnent : P = 330.25, Q = 83985.06, A = -1, B = 2 P, C = P² - 2 Q, (B² - 4 A C) = 447.93²
D'où :
x₅ = 10.31² ou 23.54²
On retient x₅ = 23.54², proche du carré d'un demi-entier (vu que δ₅/2 = 1/2).
c₅ = √x₅ + δ₅/2 = 24.04
d₅ = √x₅ - δ₅/2 = 23.04
x₄ = -(δ₅ x₅ + P)/δ₄ = 21.03²
On retient x₄ = 21.03², proche du carré d'un entier (vu que δ₄/2 = -1).
c₄ = √x₄ + δ₄/2 = 20.03
d₄ = √x₄ - δ₄/2 = 22.03
On injecte les solutions entières c₅ = 24, d₅ = 23, c₄ = 20, d₄ = 22, dans les équations exactes (32), qui se trouvent vérifiées dès ce premier essai.

6. Calcul de β1 et β2 à partir de N donné :
La relation (34) est une équation diophantienne pouvant s'écrire plus simplement :
(60)     β1 = 9 u - N et β2 = N - 8 u, avec u quelconque

Mais il faut en plus assurer trois contraintes :
1. Les listes partielles de S1 et S2 doivent se raccorder afin de donner l'illusion de deux listes uniques et croissantes de 17 nombres chacune.
2. Ces listes partielles ne doivent pas avoir de doublons entre elles.
Compte tenu des listes translatées (31)(32), ces deux contraintes s'écrivent :
    (β2 + Min[L2a*, L2b*]) supérieur et proche de (β1 + Max[L1a*, L1b*])
avec Min[L2a*, L2b*] = -24 et Max[L1a*, L1b*] = 25
Compte tenu des relations (60), cela s'écrit :
(61)     u inférieur et proche de u max
avec u max = (2 N - (Max[L1a*, L1b*] - Min[L2a*, L2b*]))/17 = (2 N - 49)/17
Pour N = 2139, u max = 248.8
3. Tous les nombres des listes (La) et (Lb) doivent être supérieur à zéro.
Compte tenu des listes translatées (31)(32), cela s'écrit :
    β1 + Min[L2a*, L2b*] > 0
Compte tenu des relations (60), cela s'écrit :
(62)     u > u min
avec u min = (N - Min[L2a*, L2b*])/9 = (N + 24)/9
Pour N = 2139, u min = 240.3
Compte tenu des conditions (61)(62), Maurice Dagbert a choisi 247 pour valeur de u, induisant les valeurs 84 et 163 pour β1 et β2.

Il reste à s'assurer que u min < u max pour toute valeur de N.
Compte tenu des conditions (61)(62), cela introduit une nouvelle contrainte :
(63)     N > (9 Max[L1a*, L1b*] - 26 Min[L2a*, L2b*] = 849)
Maurice Dagbert a imposé 1000 pour valeur minimale de N afin de satisfaire cette contrainte, qui dispense alors de calculer u min.

7. Absence de doublon dans une liste ou entre listes de 17 nombres :
Cette propriété remarquable résulte de trois constats :
- Par construction, les listes élémentaires C1 et D1 (cf relations (31)) n'ont aucun doublon, ni interne ni entre elles. Il en va donc de même pour les listes translatées L1a* et L1b*, compte tenu de leurs symétries, ainsi que des listes partielles L1a et L1b.
- Par construction également, les listes élémentaires C2 et D2 (cf relations (32)) ont cette même propriété. Il en va donc de même pour les listes translatées L2a* et L2b*, compte tenu de leurs symétries, ainsi que des listes partielles L2a et L2b.
- Par choix précédent (cf relation (61)), les listes partielles L1a et L1b sont disjointes des listes partielles L2a et L2b.
En conséquence, les deux listes de 17 nombres ne peuvent avoir de doublon, en interne ou entre elles, vu qu'elles résultent de la simple concaténation de L1a et L2a pour la première et de L1b et L2b pour la seconde.

8. Construction des listes de 17 nombres :
Les deux listes de 17 nombres fournies par Maurice Dagbert se construisent alors en quatre étapes :
1. Calcul de u selon les relations (61)(62).
2. Calcul de β1 et β2 selon les relations (60).
3. Mémorisation de trois listes d'écarts basées sur les écarts entre nombres consécutifs de chaque liste translatée L1a*, L1b*, L2a*, L2b* (cf relations (31)(32)) :
Liste d'écarts E1 = [ 4, 5, 14, 4, 14, 5, 4]
Liste d'écarts E2 = [ 4, 5, 8, 6, 11, 2, 10, 1 ]
Liste d'écarts E3 = [ 1, 9, 9, 10, 9, 9, 1 ]
4. Construction de deux listes (La) et (Lb) de 17 nombres en fonction de ces listes d'écarts et des translations β1 et β2, selon la répartition suivante :
La = [ L1a, L2a ]
Lb = [ L1b, L2b ]
avec :
L1a = [ (β1 - 25), +E1 ] composé de 8 termes
L2a = [ (β2 - 24), +E2 ] composé de 9 termes
L1b = [ (β1 - 24), +E3 ] composé de 8 termes
L2b = [ (β2 - 23), +E2! ] composé de 9 termes
Le symbole "!" signifie que la liste doit être lue à l'envers.

Nota : Il existe un autre moyen (plus compliqué) pour construire les deux listes de 17 nombres, basé sur la mémorisation des listes élémentaires C1, D1, C2, D2 (cf relations (31)(32)) :
L1a = [ (β1 - C1!)₄, (β1 + C1)₄ ]
L2a = [ (β2 - C2!)₅, (β2 + D2 )₄ ]
L1b = [ (β1 - D1!)₄, (β1 + D1)₄ ]
L2b = [ (β2 - D2 !)₄, (β2 + C2)₅ ]
Le symbole "!" signifie que la liste doit être lue à l'envers.
Le symbole " " signifie que le terme fictif 0 de la liste doit être ignoré.
L'indice en partie basse indique, pour rappel, le nombre de termes de la quantité entre parenthèses.

B6.4. Sources relatives au Tours de magie :

[ASH] ashmarlow52, Learn This Viral Battery Trick (Youtube, 01:07).
[CAR1] Carrefour francophone, Cours de Magie avec Magislain - Tour 4 : Evasion (Youtube, 03:16).
[CAR2] Carrefour francophone, Cours de magie avec Magislain - Tour 2 : L'élastique à travers les doigts (Youtube, 03:21).
[EIT] Joseph Eitel, The Handcuff Escape Puzzle.
[GAR] Nasr Garouachi, Cordes - Playlist.
[HAF] Nadjib Haffaf, Echapper à la corde facile - DIDACTICIEL (Youtube, 02:45).
[JER] Jérémie-L'école de la magie, 3 TOURS DE MAGIE AVEC 1 ELASTIQUE (Youtube, 08:20).
[MAGE] MagieExpliquée, Apprenez la Téléportation avec un simple Elastique - Secret Révélé (Youtube, 06:43).
[MIR] Minute Facile, Régis le magicien vous explique son incroyable tour de magie avec une corde (Youtube, 03:50).
[PAU] Paulo magie, apprenez un tour impressionnant avec 2 élastiques (Youtube, 05:26).
[PRA] pratiqueTV, Tour de passe passe avec des piles (Youtube, 01:50).
[SHU1] Chen Shuwen, Non-negative Integer Solutions of a1^k + a2^k + a3^k+ a4^k = b1^k + b2^k + b3^k + b4^k ( k = 2, 4, 6 ).
[SHU2] Chen Shuwen, On the Generalization of the Prouhet-Tarry-Escott Problem.
[TUT] TUTO MAGIE, ARNAQUE OU MAGIE ? COMMENT GAGNER DE L'ARGENT AVEC 3 CARTES EXPLICATION (Youtube, 06:24).
[VAL] TUTUR VAL, 5 TOURS DE MAGIE AVEC DES ELASTIQUES (Youtube, 07:49).
[WIK1] Problème de Prouhet-Tarry-Escott.

B7. Jeux de stratégie

Voici une introduction aux jeux de stratégie.
Cette collection regroupe des jeux à un ou plusieurs joueurs, pour lesquels une stratégie est connue, soit gagnante pour l'un des deux joueurs, soit optimale, soit simplement rationnelle.

Sommaire :

1. Jeux avec pions
2. Jeux avec damier
3. Jeux avec cartes
4. Jeux avec dés
5. Jeux sur feuille de papier
6. Jeux de loterie
7. Jeux sportifs
8. Sources

B7.1. Jeux avec pions :

Les jeux suivants avec pions ont tous une stratégie gagnante pour l'un des deux joueurs.

1. Le jeu des 17 allumettes
2. Le jeu des tas
3. Le Nim de Moore
4. Le jeu des chameaux

B7.1.1. Le jeu des 17 allumettes :

Le jeu des 17 allumettes est un jeu de stratégie à deux joueurs, dans lequel il existe une stratégie gagnante selon la variante choisie.

Règles du jeu :
Deux joueurs se trouvent face à un tas de 17 allumettes.
Les joueurs jouent à tour de rôle et chacun retire 1, 2 ou 3 allumettes.
Deux variantes existent alors :
V1. Celui qui vide le tas gagne la partie.
V2. Celui qui vide le tas perd la partie.

Stratégie gagnante :
V1 : le premier joueur gagne en ramenant toujours le jeu à un multiple de 4 allumettes (c'est-à-dire : 16, 12, 8, 4, 0).
V2 : le second joueur gagne en ramenant toujours le jeu à un multiple de 4 + 1 allumettes (c'est-à-dire : 13, 9, 5, 1).

Explication :
On peut représenter le jeu par un graphe orienté (appelé graphe des options), où chaque sommet correspond à une position n du jeu (nombre d'allumettes restantes) et chaque arête correspond à un coup possible (passer de la position n à la position n - 1, n - 2 ou n - 3). Voir Figure ci-dessus.
On distingue alors deux types de positions :
- une position gagnante (G en blanc) lorsqu'il existe au moins un coup menant à une position perdante (P en jaune).
- une position perdante (P) lorsque tous les coups possibles mènent à des positions gagnantes (G).

Variante V1 :
La position 0 est perdante pour le joueur dont c'est le tour (il ne peut pas jouer et a perdu).
En remontant le graphe, on constate que :
- 1, 2 et 3 sont gagnantes,
- 4 est perdante,
- puis, par récurrence, toutes les positions multiples de 4 sont perdantes.
Ces positions perdantes correspondent exactement aux positions dont le nombre de Grundy (noté 'mex') est nul (car il s'agit d'un jeu impartial), ce qui explique pourquoi le joueur qui sait les identifier peut toujours forcer la victoire.

Variante V2 :
La position 0 est gagnante pour le joueur dont c'est le tour (il gagne sans jouer puisque l'adversaire a pris la dernière allumette).
En remontant le graphe, on constate que :
- 1 est perdante,
- 2, 3 et 4 sont gagnantes,
- puis, par récurrence, toutes les positions de la forme 4 k + 1 sont perdantes (avec k entier non négatif).
Là encore, ces positions perdantes sont exactement celles dont le nombre de Grundy est nul, expliquant la périodicité modulo 4.

Nombre de Grundy :
Dans un jeu impartial (comme celui des 17 allumettes), le nombre de Grundy g(n) d'une position n quelconque est défini comme le mex (minimum exclu) des nombres de Grundy de ses positions accessibles en un coup, où mex désigne le plus petit entier naturel absent de l'ensemble.
Toute position sans coup possible a par ailleurs un nombre de Grundy égal à 0.
Appliqué au jeu des 17 allumettes, cela conduit à la relation de récurrence suivante :
g(n) = mex{g(n - 1), g(n - 2), g(n - 3)} pour n ≥ 1
Variante V1 :
g(0) = 0 puisque, depuis la position 0, aucun coup n'est possible, d'où le résultat : g(n) = n mod 4
Variante V2 :
g(1) = 0, d'où le résultat : g(n) = (n - 1) mod 4
Interprétation : Les positions dont le nombre de Grundy est nul sont exactement les positions perdantes. La stratégie gagnante consiste donc à jouer de façon à ramener systématiquement l'adversaire sur une position de Grundy nul.

B7.1.2. Le jeu des tas :

Le jeu des tas, ou jeu de Nim ou jeu de Marienbad, est un jeu de stratégie gagnante à deux joueurs fondé sur des principes mathématiques simples et fascinants.

Règles du jeu :
Deux joueurs se trouvent face à plusieurs tas d'objets (pierres, cartes, allumettes, coquilles Saint-Jacques), le nombre de tas et le nombre d'objets par tas étant arbitraires.
Les joueurs jouent à tour de rôle et chacun retire autant d'objets qu'il veut (mais au moins un) d'un seul tas.
Celui qui vide le dernier tas remporte la partie.

Stratégie gagnante :
La méthode gagnante repose sur une addition particulière appelée "Nim_addition". On calcule la somme XOR des tailles des tas écrites en numération binaire (c'est-à-dire le "ou exclusif" bit à bit, dont le bit du résultat vaut 1 si et seulement si les bits sont différents).
Si cette Nim_addition est nulle, la position est perdante (on parle de position "paire"). Dans le cas contraire, la position est gagnante (position "impaire") et il existe toujours au moins une action permettant de ramener la Nim_addition à zéro.
Exemple (voir Figure ci-dessus) : supposons trois tas de taille 3 (011 en binaire), 4 (100 en binaire) et 5 (101 en binaire). La Nim_addition (notée "⊕") vaut : 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2 (10 en binaire), ce qui n'est pas nul. Le premier joueur peut donc gagner en ajustant la taille de l'un des tas.
Une manière plus visuelle de procéder est la suivante [DEL1]. On décompose chaque taille en paquets p_i ayant chacun un nombre i d'objets, où i est une puissance de 2, ce qui revient à écrire ces tailles en numération binaire.
Pour chaque puissance de 2, on compte le nombre total de paquets correspondants. Une position est perdante si ce nombre est pair pour toutes les puissances de 2.
Dans l'exemple précédent, on a : 3 = p₂ + p₁ ; 4 = p₄ ; 5 = p₄ + p₁. Ici, le paquet p₂ apparaît une seule fois. Pour rétablir une position paire, il faut donc enlever ce paquet, ce qui revient à réduire le tas de taille 3 à 1.

Explication :
Soit n tas avec t_i la taille du tas i. La Nim_addition vaut : S = t₁ ⊕ ... ⊕ t_i ⊕ ... ⊕ t_n
Un coup légal consiste à choisir un tas m et à modifier sa taille t_m par un entier strictement plus petit t'_m, les autres tas restant inchangés.
La Nim_addition initiale S s'écrit alors : S = t₁ ⊕ ... ⊕ t_m ⊕ ... ⊕ t_n
Après le coup joué, elle devient : S' = t₁ ⊕ ... ⊕ t'_m ⊕ ... ⊕ t_n
Compte tenu de l'identité : t_m ⊕ t_m = 0, de la commutativité et de l'associativité de l'opérateur XOR, cela s'écrit aussi :
(*) S' = S ⊕ (t_m ⊕ t'_m)

1. Cas S = 0 : Une position paire mène toujours à une position impaire.
Compte tenu de la relation (*), si S = 0, alors on a : S' = t_m ⊕ t'_m
Comme t_m ≠ t'_m, on a nécessairement : t_m ⊕ t'_m ≠ 0, donc S' ≠ 0.
La nouvelle position est donc impaire.

2. Cas S ≠ 0 : A partir d'une position impaire, il existe au moins une action menant à une position paire.
Si S ≠ 0, soit r max le rang du bit de poids fort non nul de S. Dans l'exemple précédent (S = 10 en binaire), r max correspond au second rang à partir de la droite.
Il existe alors au moins un tas m dont la taille t_m possède un bit égal à 1 au rang r max.
On définit alors une nouvelle taille t'_m = t_m ⊕ S
Au rang r max, on a un 1 dans t_m et un 1 dans S, donc le bit de rang r max devient 0 dans t'_m. Par ailleurs, aucun bit de rang supérieur n'est modifié. On a donc : t'_m < t_m et cette action permet de jouer un coup légal en réduisant la taille du tas t_m.
La relation (*) s'écrit alors : S' = S ⊕ (t_m ⊕ (t_m ⊕ S)) = (S ⊕ S) ⊕ (t_m ⊕ t_m) = 0
La nouvelle position est donc paire.

B7.1.3. Le Nim de Moore :

Une généralisation du jeu des tas, appelée Nim de Moore, est définie comme suit [DEL1] :

Règles du jeu :
A chaque tour, le joueur choisit entre 1 et k tas distincts (k fixé, exemple : k = 2) et retire au moins un objet de chacun des tas choisis.

Stratégie gagnante :
La méthode consiste à écrire la taille de chaque tas en binaire (comme pour le jeu des tas), puis à calculer une "Moore_addition" qui est le vecteur obtenu en additionnant les bits de chaque tas colonne par colonne modulo (k + 1).
La position est paire (et perdante) si toutes les colonnes donnent un reste nul, et impaire (et gagnante) dans le cas contraire.
Exemple (voir Figure ci-dessus) : supposons k fixé = 2 et trois tas de taille 3 (11 en binaire), 4 (100 en binaire) et 5 (101 en binaire). La Moore_addition (notée "⊕") vaut : 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = vecteur 212, ce qui n'est pas nul. Le premier joueur peut donc gagner en ajustant la taille de un ou deux tas, par exemple en retirant 1 objet du tas de 4 et 2 objets du tas de 5. La position devient alors : 3 ⊕ 3 ⊕ 3 = 0 qui devient paire pour l'autre joueur.

Explication :
Soit n tas avec t_i la taille du tas i, et un entier k fixé entre 2 et n. La Moore_addition vaut : S = {c₁, c₂, ..., c_r, ...} avec c_r = (nombre de tas dont le bit au rang r vaut 1) mod (k + 1)

1. Cas S = 0 : Une position paire mène toujours à une position impaire.
Si S = 0, alors pour tout rang r, le nombre c_r de bits à 1 est divisible par k + 1, ce qui s'écrit : c_r = 0 mod (k + 1).
Soit r max le plus grand rang effectivement modifié parmi les tas choisis par le joueur. Dans cette colonne, seuls les tas modifiés peuvent changer des bits. Comme le joueur ne peut modifier au plus que k tas, c_{r max} varie d'un entier de valeur absolue au plus égale à k.
Aucune variation non nulle de valeur absolue au plus égale à k n'étant divisible par (k + 1), la divisibilité par (k + 1) dans cette colonne est rompue.
La nouvelle position est donc impaire.

2. Cas S ≠ 0 : A partir d'une position impaire, il existe au moins une action menant à une position paire.
Si S ≠ 0, soit r max le rang du bit de poids fort non nul de S.
Soit T l'ensemble des tas k dont la taille t_k possède un bit égal à 1 au rang r max.
Parmi ces tas, on peut alors choisir un sous-ensemble T' de 1 à k tas tel que, si l'on bascule le bit de rang r max dans chacun des tas de T' de 1 à 0 (en diminuant convenablement ces tas), le nouveau nombre de 1 dans cette colonne devienne multiple de (k + 1).
On procède alors par récurrence descendante sur les rangs : pour chaque rang r < r max, on ajuste éventuellement les mêmes tas (toujours en les diminuant) de sorte que la colonne r devienne elle aussi multiple de (k + 1), sans jamais modifier les bits de rang strictement supérieur déjà fixés.
A chaque étape, on agit sur au plus k tas, de sorte que cette correction locale est toujours possible, exactement comme on "corrige" les colonnes une à une dans le jeu des tas (k = 1) avec l'opérateur XOR.
Au terme de ce processus, toutes les colonnes ont un nombre de bits à 1 divisible par (k + 1).
La nouvelle position est donc paire.

Sur l'exemple des trois tas précédents (avec k fixé à 2), le procédé de correction colonne par colonne est le suivant :
- Les trois tas t_i s'écrivent en binaire comme suit :
   t₁ = 3 = 011
   t₂ = 4 = 100
   t₃ = 5 = 101
- La Moore-addition donne S = 212, qui n'est pas nulle (position impaire).
- La colonne r max vaut 2 avec T = {t₂, t₃}
- On peut agir sur au plus k = 2 tas. Ici, ces 2 tas suffisent avec T' = T
- Pour rendre la colonne de rang 2 multiple de 3, il faut enlever les 1 de ces deux tas.
- Une façon de faire est de viser la position {t_i} = {3, 3, 3}, seule solution possible avec k = 2
- On laisse le tas 1 inchangé, on diminue le tas 2 de 1 objet et le tas 3 de 2 objets.
Nota : Pour k = 3, il existe plusieurs solutions aboutissant respectivement aux positions {t_i} = {3, 3, 3} ou {2, 2, 2} ou {1, 1, 1}.

B7.1.4. Le jeu des chameaux :

Le jeu des chameaux, ou jeu des pièces de dix francs, ou jeu du "pousse-coque", est une variante du jeu des tas, définie comme suit :

Règles du jeu :
Le jeu se joue sur une ligne de cases comportant une case initiale et plusieurs pièces, une par case, placées initialement à des distances arbitraires entre pièces (voir Figure ci-dessus).
Le nombre de pièces doit être pair. Dans le cas impair, il faut ajouter une pièce fictive, placée juste avant la case initiale.
Les joueurs jouent à tour de rôle et chacun déplace une seule pièce vers la case initiale, d'une ou plusieurs cases, sans sauter une pièce déjà en place.
Cette façon de se déplacer est analogue à une caravane de chameaux en file indienne dans le désert, chaque animal suivant l'autre sans pouvoir le dépasser.
La partie s'arrête lorsque tous les pièces sont bloquées.
Le joueur qui joue le dernier coup gagne la partie.

Stratégie gagnante :
La stratégie gagnante consiste à jouer comme au jeu des tas en maintenant une position à Nim_addition nulle, et, lorsqu'un coup modifie cette lecture en augmentant un tas, à effectuer immédiatement un coup de restauration afin de revenir à une position Nim équivalente.
La méthode est la suivante [TRI1] :
1. La position initiale est fixée. Voir en exemple la Figure ci-dessus "Position initiale" = 0111000001001000011000001, la case initiale étant à gauche, avec 0 désignant une case libre et 1 une case occupée par une pièce.
2. En partant de la pièce la plus éloignée de la case initiale, former des paires disjointes de pièces successives depuis la case la plus éloignée de la case initiale, chaque pièce n'appartenant qu'à une seule paire, puis compter le nombre de cases libres à l'intérieur de chaque paire.
Ce comptage revient à définir un ensemble de tas d'objets. Voir Figure ci-dessus "Position initiale" montrant la configuration (0, 5, 4, 5) de ces tas.
3. Ensuite, déplacer une pièce sur la ligne de cases revient à retirer autant d'objets que l'on veut d'un tas parmi plusieurs, le vainqueur étant celui qui vide le dernier tas.
Cette règle de jeu est exactement celle du jeu des tas et l'on joue pour atteindre une position paire gagnante. Voir Figure ci-dessus "Joueur A - Coup n 1" = 0111010000001000011000001, montrant le déplacement permettant d'aboutir à la configuration gagnante (0, 1, 4, 5) correspondant à la Nim_addition 0 ⊕ 1 ⊕ 4 ⊕ (4 ⊕ 1) = 0.
4. Mais, contrairement au jeu des tas, un coup peut augmenter la taille d'un tas.
Voir Figure ci-dessus "Joueur B - Coup n 1" = 0111011000000000011000001, montrant un tel déplacement aboutissant à la configuration (0, 1, 10, 5).
5. Pour se ramener à une position "Nim équivalente", il faut alors annuler tout coup de l'adversaire qui augmenterait la taille de l'un des tas. Pour cela, il faut ramener à sa valeur initiale la taille du tas.
Voir Figure ci-dessus "Joueur A - Coup n 2" = 0111011000010000001000001, montrant le déplacement permettant de revenir à la configuration gagnante précédente (0, 1, 4, 5).

B7.2. Jeux avec damier :

Les jeux suivants se jouent sur un échiquier classique 8 x 8 ou un damier 10 x 10 de type dames internationales.

1. Le jeu de Northcott
2. Le jeu du loup et des agneaux
3. Le jeu de dames
4. Les échecs

B7.2.1. Le jeu de Northcott :

Le jeu de Northcott, inventé par le mathématicien américain D.G. Northcott, est une variante du jeu des tas et du jeu des chameaux, définie comme suit :
Les règles du jeu sont les suivantes :

Configuration initiale :
Le jeu se joue sur un échiquier classique 8 x 8, chaque joueur disposant de 8 pions, les blancs pour l'un, les noirs pour l'autre (voir Figure ci-dessus).
Les joueurs posent leurs pions sur les cases de l'échiquier, un de chaque couleur par rangée de l'échiquier, sans qu'ils occupent la même case.
On obtient ainsi sur chacune des 8 rangées, un pion noir et un pion blanc.
Objectif :
Les joueurs jouent à tour de rôle.
Chaque joueur choisit un de ses pions et le déplace horizontalement sur sa rangée, d'un nombre quelconque de cases, vers la droite ou vers la gauche, sans sauter le pion adverse.
Le joueur qui joue le dernier coup gagne la partie.
Dans la version originale, le jeu se termine dès que les pions sont tous adjacents (même au centre des rangées).
La variante bord-bloqué prolonge la partie jusqu'au blocage complet des pions aux bords de l'échiquier. Cette règle rend le jeu plus symétrique et visuellement concluant.

Stratégie gagnante :
La méthode est exactement celle du jeu des tas. Chaque rangée correspond à un tas dont la taille est le nombre de cases libres entre les deux pions (blanc et noir) de cette rangée.
La stratégie optimale est donc le calcul de la Nim_addition de ces 8 valeurs.
Cependant, comme au jeu des chameaux, le joueur peut augmenter la taille d'un tas (en reculant son pion), ce qui ne change rien à la stratégie, la situation pouvant être rétablie au coup suivant.
Exemple (voir Figure ci-dessus, cf [TRI2]) :
1. La configuration initiale des tas est donnée par la première colonne du tableau de la Figure. Elle vaut (2, 0, 0, 3, 3, 1, 2, 3) dont la Nim_addition vaut 1 ⊕ 3 = 2 ≠ 0.
2. Supposons que les pions blancs appartiennent au joueur gagnant. Pour laisser une position paire à son adversaire, ce joueur devra ôter 2 à l'une des rangées, par exemple en déplaçant son pion blanc en position d8, laissant une configuration (0, 0, 0, 3, 3, 1, 2, 3) dont la Nim-addition vaut 0 (voir Figure ci-dessus).
3. Les coups suivants pour les deux joueurs sont donnés dans le tableau de la Figure.
4. Dans le cas où les pions blancs et noirs sont tous l'un contre l'autre, mais sans être tous bloqués contre les bords de l'échiquier, le joueur contraint de jouer (joueur des noirs) ne peut que reculer un des pions en augmentant le nombre de cases libres entre pions, que l'autre joueur (joueur des blancs) ramène immédiatement à 0.
5. La partie se termine donc au profit du joueur initialement gagnant (joueur des blancs), que ce soit dans la version originale du jeu ou la variante bord-bloqué.

B7.2.2. Le jeu du loup et des agneaux :

Le jeu du loup et des agneaux est un jeu de stratégie gagnante à deux joueurs.
Les règles du jeu sont les suivantes :

Configuration initiale : Le jeu du loup et des agneaux se joue sur un damier de type dames internationales 10 x 10, orienté avec une case blanche en bas à droite, et en utilisant uniquement les cases blanches.
Au début de la partie, le loup (pion noir) est placé sur l'une des cases blanches d'un bord du damier, au choix du joueur qui le dirige. Les 5 agneaux (pions blancs) sont placés en ligne sur les 5 cases blanches du bord opposé.
Objectif :
Les joueurs jouent à tour de rôle.
Le loup commence la partie. Son objectif est de franchir la ligne formée par les agneaux et d'atteindre le bord opposé du damier occupé initialement par ceux-ci.
Les agneaux gagnent s'ils parviennent à bloquer totalement le loup.
Règles de déplacement :
Le loup se déplace d'une seule case en diagonale, vers l'avant ou vers l'arrière.
Les agneaux se déplacent également d'une seule case en diagonale, mais uniquement en avant.
Règles de capture :
Il n'y a ni capture ni saut.

Stratégie gagnante :
La stratégie est gagnante pour les agneaux en 25 coups environ s'ils respectent sans erreur les règles suivantes [PER][CHA] :
1. Avancer sans poursuivre : Les agneaux ne doivent jamais chercher à encercler le loup ni à progresser vers sa position. L'objectif est de réduire progressivement l'espace de mouvement du loup, jamais de l'attaquer.
2. Avancer en ligne compacte : Les agneaux doivent rester alignés sur une même rangée ou sur deux rangées adjacentes, sans avancées isolées, afin de ne jamais créer de trou exploitable.
3. Bloquer les deux coups possibles du loup : Les agneaux doivent occuper en priorité les deux cases situées en diagonale juste devant le loup.
4. Ne jouer que des coups utiles : Les agneaux ne doivent effectuer que des déplacements qui contribuent directement au respect des trois règles précédentes.
5. Bloquage final : lorsque le loup est coincé contre un bord ou dans un coin du damier, les agneaux peuvent rompre la ligne compacte afin d'occuper toutes les cases diagonales adjacentes accessibles.

B7.2.3. Le jeu de dames :

Les règles du jeu sont les suivantes [PER][CHA] :

Configuration initiale :
Le jeu de dames internationales se joue sur un damier 10 x 10, orienté avec une case blanche en bas à droite, et en utilisant uniquement les cases noires.
Au début de la partie, 20 pions blancs et 20 pions noirs sont placés sur les quatre premières rangées de chaque côté des joueurs.
Objectif :
Les joueurs jouent à tour de rôle.
Les Blancs jouent toujours en premier.
Un joueur gagne si l'adversaire n'a plus de pièces ou ne peut plus bouger.
La partie est déclarée nulle si :
- Aucun joueur ne peut progresser vers une capture (par exemple, lorsque le jeu ne comporte que des dames mobiles, sans possibilité de capture),
- La même position se répète trois fois avec le même joueur au trait et les mêmes possibilités de mouvement,
- 25 coups consécutifs sont joués sans prise ni promotion de dame.
Règles de déplacement :
- Les pions se déplacent d'une case en diagonale vers l'avant si la case est libre.
- Une dame se déplace en diagonale sur plusieurs cases, avant ou arrière, tant que la case est libre.
Règles de capture :
- Une pièce (pion ou dame) peut sauter, en avant ou en arrière, une ou plusieurs pièces adverses en un seul tour, sans pouvoir toutefois sauter plusieurs fois la même pièce.
- Chaque pièce adverse sautée est capturée et enlevée du jeu à la fin de la séquence complète de captures.
- Si une pièce peut capturer, elle doit le faire obligatoirement. Si plusieurs séquences de capture sont possibles (rafle), le joueur doit choisir obligatoirement celle qui capture le plus de pièces.
Règles spéciales :
- Promotion : Un pion devient dame lorsqu'il atteint la dernière rangée adverse, symbolisé par l'empilement d'un deuxième pion.
- Toucher-jouer : Une pièce touchée doit être jouée, sauf pour annoncer "j'adoube" (ajuster sa position) avant de toucher la pièce.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante au jeu de dames, connue à ce jour. La stratégie optimale consiste à minimiser les erreurs grossières en suivant les règles suivantes [PER][CHA] :
1. Avancer en bloc : Les pions en tandem ou groupes de 2 ou 3 se protègent mutuellement et compliquent les captures adverses.
2. Protéger par formation pyramidale : Quand on avance une pièce, s'assurer que deux autres pièces en diagonale arrière la protègent.
3. Jouer d'abord au centre : Les ailes sont difficiles à défendre et faciles à bloquer.
4. Simplifier le jeu : Provoquer des échanges simples (1 pour 1) dès que possible, à condition de garder une position compacte. Moins de pièces signifie moins de pièges possibles.
5. Détecter les diagonales ouvertes : Lorsqu'il existe de longues diagonales ouvertes, vérifier que l'adversaire ne peut pas les exploiter pour placer une dame ou déclencher une rafle, tout en les exploitant offensivement soi-même.
6. Anticiper les rafles : Vérifier avant de jouer que le coup n'implique pas une rafle adverse.
7. Sécuriser toute promotion de dame : Avant de tenter une promotion, vérifier que la case d'arrivée ne permet pas une capture immédiate.
8. Couronner tôt : Viser à promouvoir 1 ou 2 pions rapidement en dames pour prendre le contrôle du jeu.

B7.2.4. Les échecs :

Les règles du jeu sont les suivantes [PER][CHA] :

Configuration initiale :
Les échecs se jouent sur un damier 8 x 8, orienté avec une case blanche en bas à droite.
Au début de la partie, 16 pièces blanches et 16 pièces noires sont placées comme suit :
- sur la première rangée : en partant de chaque extrémité, une tour, un cavalier, un fou. Les deux cases centrales sont occupées par le roi et la dame, la dame étant placée sur la case de sa couleur.
- sur la seconde rangée : les 8 pions.
Objectif :
Les joueurs jouent à tour de rôle.
Les Blancs jouent toujours en premier.
Un joueur gagne la partie s'il met le roi adverse en échec et mat, ou si l'adversaire dépasse la limite de temps alors que le joueur a un matériel suffisant pour mater l'adversaire.
Règles de déplacement :
- Roi : Une seule case dans toute direction (horizontale, verticale, diagonale). Il ne peut pas se déplacer sur une case le mettant en échec.
- Dame : Toute distance dans toute direction, si chemin libre.
- Fou : Toute distance diagonale, si chemin libre.
- Cavalier : déplacement en L (2 cases dans une direction et 1 autre perpendiculairement). Il est la seule pièce à sauter par-dessus les autres.
- Tour : Toute distance horizontale ou verticale, si chemin libre.
- Pion : Avance d'une seule case vers l'avant, dans la colonne où il se trouve (et 2 cases possibles depuis sa position initiale, si chemin libre). Il ne recule jamais.
Règles de capture :
- Toutes les pièces, sauf le pion, capturent selon leur déplacement normal en occupant la case adverse.
- Le pion capture uniquement d'une case en diagonale avant (droite ou gauche), jamais en ligne droite.
- Prise en passant : Un pion avançant de 2 cases depuis sa position initiale et se plaçant à côté d'un pion adverse, peut être capturé par ce dernier au coup immédiatement suivant, comme s'il n'avait avancé que d'une case. La capture s'effectue en diagonale sur la case que le pion capturé aurait occupée après un déplacement d'une seule case.
- La pièce qui capture prend la place de la pièce capturée, laquelle est retirée du jeu.
Règles spéciales :
- Promotion : Un pion atteignant la dernière rangée se transforme en dame, tour, fou ou cavalier (avec choix immédiat).
- Roque : Le roi se déplace de deux cases dans sa rangée d'origine vers la tour adjacente, laquelle saute ensuite par-dessus le roi pour se placer à côté de lui. Deux roques différents sont possibles mais un seul par joueur et par partie : grand roque côté dame et petit roque côté roi. Les conditions de roque sont les suivantes :
   1. Le roi et la tour concernés n'ont pas bougé auparavant.
   2. Le chemin est libre entre eux (aucune pièce intermédiaire).
   3. Le roi n'est pas en échec au moment du roque.
   4. Le roi ne traverse pas de case menacée.
   5. Les cases finales du roi et de la tour ne sont pas menacées.
- Toucher-jouer : Une pièce touchée doit être jouée (déplacée si pièce alliée, capturée si pièce adverse), sauf pour annoncer "j'adoube" (ajuster sa position) avant de toucher la pièce.
Règles de fin de partie :
- Echec au roi : Le roi est menacé. Trois parades sont possibles (acronyme PIF) : Prendre l'attaquant, Interposer une pièce entre roi et attaquant, Fuir la menace.
- Echec et mat : Le roi est en échec sans parade possible.
- Partie nulle : les cas possibles sont les suivants :
   1. Pat : Aucun coup légal n'est possible, avec roi non en échec.
   2. Partie nulle par accord : Les deux joueurs acceptent d'arrêter.
   3. Triple répétition : La même position exacte est répétée trois fois au cours de la partie, avec le même joueur au trait.
   4. Règle des 50 coups : 50 coups consécutifs sont joués par chaque joueur sans capture ni mouvement de pion.
   5. Mat impossible par insuffisance de matériel : Le mat est impossible dans toute position possible (exemples : roi seul contre roi ; roi + cavalier contre roi ; roi + fou contre roi ; etc.).
   6. Position morte (forteresse) : Le mat est impossible depuis la position actuelle (exemple : roi blanc dans un coin avec trois pions blancs bloquant l'accès au roi, contre dame noire).
   7. Temps écoulé sans mat possible (article 6.9 de la FIDE pour le principe général et 6.12.1 pour l'exception de nullité) : La partie est nulle si un joueur dépasse la limite de temps et que l'autre joueur a un matériel insuffisant pour mater son adversaire.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante aux échecs, connue à ce jour. La stratégie optimale consiste à minimiser les erreurs grossières en suivant les règles suivantes [PER][CHA] :
1. Principe fondamental : La plupart des parties se gagnent par les erreurs de l'adversaire plutôt que par des coups parfaits.
2. Développer rapidement ses pièces :
   - Sortir les cavaliers et les fous dès l'ouverture vers des cases actives.
   - Eviter de déplacer plusieurs fois la même pièce sans nécessité.
3. Assurer la sécurité du roi :
   - Roquer tôt, sauf raison tactique contraire.
   - Eviter d'exposer le roi au centre en début de partie.
4. Occuper ou contrôler le centre :
   - Exercer une influence sur les cases centrales (d4, d5, e4, e5) par pions et pièces, soit par occupation directe, soit par contrôle à distance.
   - N'attaquer sur les ailes qu'après stabilisation du centre.
   - Eviter de sortir la reine trop tôt.
5. Sécuriser les pièces :
   - Placer les pièces sur des cases où elles ont de nombreuses possibilités d'action.
   - Coordonner les pièces afin qu'elles se soutiennent mutuellement.
6. Structurer les pions :
   - Chaque mouvement de pion modifie durablement la position et doit être justifié par un plan.
   - Eviter les pions doublés (sur une même colonne), isolés (sans pions alliés sur les colonnes adjacentes) ou arriérés (en retard sur sa colonne).
7. Echanger avec tactique :
   - Favoriser les échanges de pièces quand ils améliorent sa position.
   - Simplifier la position lorsqu'on dispose d'un avantage matériel ou positionnel.
8. Traquer les menaces :
   - Vérifier les menaces à chaque coup.
   - Ne pas laisser de pièces en prise.
9. Exploiter les faiblesses adverses :
   - Pions doublés, isolés ou arriérés
   - Cases faibles (celles que les pions adverses ne contrôlent plus) : occuper la case avec un cavalier (meilleur choix).
   - Pièces bloquées ou mal placées : forcer les échanges défavorables à l'adversaire.
   - Mauvais fou (fou sur cases de la même couleur que les pions) : ne jamais l'échanger contre une de ses pièces actives, sauf exception rare.
10. Anticiper la finale :
   - Activer votre roi : il devient une pièce offensive une fois en sécurité.
   - La structure de pions prend une importance accrue.
11. Gérer son temps :
   - Eviter de consommer trop de temps en début de partie.

B7.3. Jeux avec cartes :

Les jeux de cartes suivants illustrent différentes façons de jouer avec le hasard, où la réflexion, la patience et parfois la ruse influencent le résultat.

1. La réussite du prisonnier
2. La bataille
3. La crapette
4. Le poker

B7.3.1. La réussite du prisonnier :

La réussite du prisonnier, ou jeu de l'Accordéon, ou "La poussette", se joue seul et nécessite un jeu de 32 ou 52 cartes.

Règles du jeu :
L'histoire raconte qu'elle faisait passer le temps aux prisonniers dans leur cellule.
Les règles du jeu sont les suivantes [PER][CHA] (voir également la vidéo [JEU]) :
Le joueur tient le paquet de cartes face cachée et les tire une à une, les étalant en ligne unique face visible sur le sol ou sur une table.
Dès qu'une carte se trouve encadrée par deux cartes voisines de même valeur (toutes figures ou nombres, comme deux 7 ou deux dames) ou de même couleur exacte (pique, coeur, carreau ou trèfle), il la place sur la carte précédente et resserre l'espace vacant.
Chaque recul peut créer un nouvel encadrement local et potentiellement un second juste en amont. La priorité absolue va alors à l'encadrement le plus en amont non encore traité, de manière récursive jusqu'à ce qu'aucun encadrement ne subsiste dans la ligne complète de cartes étalées.
Cette règle hiérarchique assure un traitement optimal des encadrements, évitant les omissions et accélérant la convergence vers deux tas finaux.
Exemple (voir Figure ci-dessus) : les cartes tirées successivement sont les suivantes :
   As Coeur, Valet Trèfle, 8 Pique, 5 Coeur, Valet Pique.
   Les opérations sont alors les suivantes :
   As coeur, Valet Trèfle, 8 Pique, 5 coeur, Valet Pique, 5 coeur sur 8 Pique, Valet Trèfle sur As Coeur, 5 Coeur sur Valet Trèfle.
   La partie se termine ici au premier étalement avec deux tas uniques (5 Coeur, Valet Pique).
Quand toutes les cartes du jeu ont été tirées avec traitement de tous les encadrements en cours, le joueur ramasse les cartes en les empilant de l'aval vers l'amont, retourne le jeu face cachée et recommence un nouvel étalage.
Le but du jeu est de réduire l'étalement à deux tas uniques, ce qui est généralement faisable et très long.
Toutefois, il existe une probabilité non nulle d'échec (inférieure à 5 % selon les études empiriques). Par exemple, lors d'un étalage des cartes, si aucune ne se trouve en encadrement, alors les étalages suivants reproduiront exactement la configuration initiale ou son inverse selon la méthode de ramassage des cartes.

B7.3.2. La bataille :

La bataille un jeu simple pour deux joueurs qui nécessite un jeu de 32 ou 52 cartes.
En version moderne, les règles sont les suivantes [WIK1] :

Objectif :
On distribue une à une toutes les cartes du jeu entre les joueurs, qui les rassemblent face cachée en un seul paquet.
Chaque joueur tire ensuite la carte du dessus de son paquet et la pose face visible sur la table.
L'as est la plus forte carte, puis viennent le roi, la dame, le valet, le 10, puis les autres valeurs par ordre décroissant.
Le joueur qui a la carte la plus forte en valeur remporte le pli. Il ramasse toutes les cartes posées et les place sous son paquet.
En cas d'égalité - appelée "bataille" - les joueurs tirent chacun une nouvelle carte et la posent, face cachée, sur la carte déjà posée, puis une seconde carte qu'ils posent face visible sur les deux autres posées. C'est cette dernière carte qui départage les joueurs. Si une nouvelle égalité survient, cette procédure est répétée autant de fois que nécessaire.
Le gagnant de la partie est celui qui remporte toutes les cartes du paquet de son adversaire.
La partie est déclarée nulle - quand bien même l'un des deux adversaires aurait une supériorité manifeste - si la dernière carte posée par un joueur est une carte face cachée ou si elle est de même valeur que la carte de l'adversaire. Dans ces deux cas, la bataille ne peut pas avoir lieu.
Variante :
Il existe une variante où chaque joueur reçoit au départ un jeu complet de 32 cartes, mélangé indépendamment.
On joue ensuite exactement selon les règles classiques.
Cette variante a l'avantage de supprimer l'injustice initiale liée au partage des cartes d'un seul jeu complet.
En revanche, la durée de la partie se trouve doublée.

Stratégie gagnante :
La bataille est un jeu de pur hasard, donc sans stratégie gagnante.
La partie dure environ (en médiane) 30 minutes avec 350 plis pour un jeu de 52 cartes, et 20 minutes avec 250 plis pour un jeu de 32 cartes - idéal pour une partie familiale rapide.

B7.3.3. La crapette :

La crapette est un jeu de cartes de la famille des réussite pour deux joueurs, qui nécessite deux jeux de 52 cartes (sans joker).
Le mot "crapette" pourrait signifier "petit crapaud bombé", par analogie avec le tas de 13 cartes cachées, bombé comme un crapaud accroupi, avec son oeil en dernière carte visible.
Les règles du jeu en version souple (dite familiale) sont les suivantes [PER][CHA] :

Configuration initiale :
Chaque joueur dispose de son propre jeu qu'il bat et commence à étaler sur la table selon la configuration suivante (voir Figure ci-dessus) :
- Crapette : Chacun tire 13 cartes qu'il met en tas faces cachées devant lui à sa droite.
- Suites latérales (ou piles de travail) : Chacun tire 4 autres cartes qu'il dispose à sa droite, faces visibles, en une colonne personnelle verticale. Ces cartes constituent le début de 8 piles (4 personnelles et 4 adverses).
- Suites centrales : 8 emplacements centraux communs aux deux joueurs sont laissés vides. Ils recevront ultérieurement 8 piles de cartes, faces visibles, disposées en 2 colonnes verticales de 4 couleurs chacune.
- Talon : Les 35 cartes restantes sont mises en tas faces cachées, à gauche de la crapette.
- Ecart (ou défausse) : Cet autre tas, vide initialement, est situé entre talon et crapette. Il reçoit, face visible, la carte du talon lorsqu'elle ne peut pas être placée sur le jeu.
Départage initial :
- Chaque joueur retourne ensuite la carte de dessus de sa crapette. La plus forte carte en valeur (selon l'ordre décroissant : As, Roi, Dame, ..., 2) détermine qui va commencer la partie.
- En cas d'égalité, les joueurs comparent les 4 cartes des suites latérales personnelles, position par position, du haut vers le bas.
Objectif : Chaque joueur doit se défaire de toutes ses cartes en empilant les cartes, faces visibles :
- soit dans les suites centrales constituées de 8 piles croissantes depuis l'As jusqu'au Roi, et de même couleur (Pique, Coeur, Carreau, Trèfle). Cet empilage est définitif, sans possibilité de retirer une carte d'une pile.
- soit dans les suites latérales constituées de 8 piles décroissantes depuis le Roi jusque l'As, en alternant les couleurs opposées (noir/rouge). Cet empilage est provisoire, les cartes étant destinées à être transferrées dans les suites centrales.
- soit sur les tas de son adversaire (crapette ou écart) à condition que la carte soit de même couleur et de rang immédiatement supérieur ou inférieur (par exemple, un 10 de Pique sur un 9 ou Valet de Pique).
Les joueurs jouent à tour de rôle, un joueur jouant autant de fois qu'il peut jouer.
Le gagnant est le premier qui arrive à déposer toutes ses cartes sur la table.
En cas de blocage, le joueur qui a le moins de cartes au total (crapette + écart + talon) a également gagné.
Sources de pioche : On ne pioche jamais chez l'adversaire, que ce soit dans ses tas ou dans ses suites latérales personnelles.
Les sources de pioche sont les suivantes (avec ordre à respecter) :
- Ordre strict : 1. Crapette personnelle, 2. Talon personnel, 3. Ecart personnel.
- Complément de pioche à tout moment : Suites latérales personnelles (4 piles).
Lorsqu'on pioche une carte dans la crapette ou le talon, il faut retourner la suivante, face visible.
Si le talon est épuisé, le joueur joue toutes les cartes possibles de son écart et de sa crapette, puis il retourne l'écart sans mélange pour en faire le nouveau talon.
Lorsqu'on pioche dans les suites latérales, seule la carte en sommet de pile peut être déplacée.
Destinations de pose :
- Priorité absolue : les suites centrales (8 piles).
- Destinations secondaires : Les suites latérales (8 piles, personnelles ou adverses) et les tas adverses (crapette ou écart).
Les cartes sont toujours posées ou déplacées une par une.
Les cartes des suites latérales doivent toutes être visibles, la carte posée ne recouvrant pas entièrement la précédente.
Les suites latérales ne peuvent être réorganisées que par déplacements successifs de cartes situées au sommet des piles. Une case vide peut recevoir n'importe quelle carte.
Cas de faute :
Il y a faute chaque fois qu'un joueur viole l'une des règles ci-dessus, à savoir :
- Oublie de poser en priorité une carte de ses tas (crapette, talon, écart) sur les suites centrales
- Pioche une carte du talon alors qu'il peut placer une carte de la crapette
- Pioche une carte de l'écart alors qu'il peut placer une carte du talon ou de la crapette
A chaque faute, l'adversaire crie "crapette !". Le joueur laisse le jeu en l'état, pose la carte en faute sur son écart et passe le tour à l'adversaire.
Variantes usuelles :
1. Variante sans ordre de pioche : L'ordre de pioche (crapette, talon, écart) est supprimé. Le joueur peut piocher librement dans n'importe quel tas. Cette variante privilégie la fluidité et l'optimisation des suites au détriment de la contrainte classique de priorité, transformant la crapette en un jeu plus libre et plus tactique.
2. Variante avec suites latérales communes : Les piles latérales sont communes et non propres aux deux joueurs, donc sans la distinction personnelles/adverses. Les piles latérales sont manipulables par les deux joueurs. Cette variante augmente considérablement le niveau tactique et le potentiel de réagencement des piles.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante à la crapette. Mais il existe un ensemble de principes directeurs à mettre en oeuvre selon l'ordre hiérarchique suivant [PER][CHA] :
1. Poser sur les piles centrales afin d'éviter la faute et d'avancer le jeu central.
2. Créer un maximum de case vides dans les suites latérales par deux moyens possibles : restructurer les suites latérales (souvent jusqu'à fusionner plusieurs courtes en une seule longue), et charger les deux tas de l'adversaire.
3. Libérer sa crapette en accompagnant quand c'est possible la carte de crapette avec celle du talon ou de l'écart, sauf si cette libération donne à l'adversaire une restructuration favorable.
Une partie dure environ 20 minutes.

B7.3.4. Le poker :

Le poker est un jeu de cartes stratégique pratiqué par 2 à 10 joueurs, avec un paquet standard de 52 cartes.
Son but principal est de remporter les mises (le "pot"), soit en formant la meilleure combinaison de cinq cartes, soit en poussant les adversaires à se coucher grâce au bluff.
Les 4 variantes de poker les plus jouées dans le monde sont le Texas Hold'em, l'Omaha, le 7-Card Stud et le 5-Card Draw.
Une partie désigne l'ensemble des manches jouées à une table, tandis qu'une manche correspond à un coup complet, depuis la mise initiale jusqu'à l'attribution du pot.
Attention : en anglais, le mot "hand" peut désigner soit la main de cartes (combinaison), soit la manche d'une partie (coup).

Types et valeurs des cartes :
Deux types de cartes sont possibles :
- les cartes privées, propres à chaque joueur, pouvant être cachées dites "fermées" (visibles uniquement par lui) ou visibles dites "ouvertes" (révélées aux autres joueurs),
- les cartes communes, visibles et utilisables par tous les joueurs.
Selon la variante, les cartes distribuées se répartissent comme suit :
- Texas Hold'em : 2 cartes privées cachées et 5 cartes communes.
- Omaha : 4 cartes privées cachées et 5 cartes communes
- 7-Card Stud : 3 cartes privées cachées et 4 cartes privées visibles.
- 5-Card Draw (ou "poker fermé") : 5 cartes privées cachées, révélées uniquement à l'abattage des cartes.
Les valeurs des cartes sont les suivantes, classées par ordre croissant de force :
2, 3, 4, ... , 10, Valet (J), Dame (Q), Roi (K), As (A), l'As pouvant compter pour 1 dans les suites autorisées (par exemple : As-2-3-4-5).
Dans les parties à 4 ou 5 joueurs, il est courant d'éliminer les 2, 3 et 4, ce qui réduit le jeu à 40 cartes.

Hiérarchie des mains [WIK9] :
La hiérarchie dans la force des mains est la suivante, avec leur probabilité d'apparition pour un jeu de 52 cartes selon deux cas :
- Liste 1 : tirage de 5 cartes au hasard, typique de la variante 5-Card Draw.
- Liste 2 : meilleure main parmi 7 cartes, pour les variantes Texas Hold'em, Omaha et 7-Card Stud.
Cette hiérarchie reste la même dans toutes les variantes de poker. Seules leurs probabilités d'apparition varient, en fonction du nombre de cartes distribuées et de celles pouvant être combinées pour former la meilleure main.
Chaque main est définie par son critère minimal, la hiérarchie des mains se chargeant de départager automatiquement les cas de recouvrement.

A noter dans ce tableau :
- La couleur n'affecte pas la force intrinsèque d'une main dans la hiérarchie par rapport aux autres mains, sauf pour former une Couleur, une Quinte flush ou une Quinte flush royale. Entre elles, les couleurs sont équivalentes et neutres, sauf pour départager des égalités dans certaines variantes non standard.
- Les probabilités n'augmentent pas toujours strictement avec la faiblesse de la main, mais l'ordre hiérarchique reste correct pour déterminer le gagnant.

Droit d'entrée (la cave) :
La cave est le montant que chaque joueur engage pour participer à la partie.
- Au début de la partie, le joueur achète des jetons correspondant à sa cave.
- Pendant la partie, toutes les mises et relances se font uniquement avec des jetons.
- A la fin, le joueur échangera ses jetons contre de l'argent selon leur valeur.

Mise avant distribution des cartes (mise initiale) :
Avant toute distribution de cartes, une mise obligatoire est imposée afin de constituer le pot de départ.
Elle prend la forme d'antes (tous les joueurs misent) ou de blinds (mises forcées de certains joueurs), et est effectuée sans connaissance des cartes.

Ante :
L'ante est une mise identique obligatoire placée par chaque joueur avant la distribution des cartes pour créer un pot initial.
Elle est obligatoire dans la variante 7-Card Stud et facultative dans 5-Card Draw.

Blind :
Les blinds sont des mises forcées placées avant la distribution des cartes pour créer un pot initial.
Elles sont obligatoires dans les variantes Texas Hold'em et Omaha, et peuvent se cumuler avec des antes selon les spécificités de la partie.
Deux types de blind existent :
- Small Blind (SB) : petite mise, placée par le joueur immédiatement à gauche du bouton (donneur).
- Big Blind (BB) : mise complète (généralement le double de SB), placée par le joueur à gauche du Small Blind.
Les autres joueurs, hors SB et BB, ne misent rien au départ.
Le sur-blind (ou straddle) est une mise facultative supplémentaire (généralement le double de BB), placée par le joueur situé à gauche du Big Blind.
Il donne un avantage stratégique en permettant au joueur qui le place d'agir en position tardive sur le premier tour, d'augmenter le pot initial et de mettre la pression sur ses adversaires.

Distribution des cartes (la donne) :
Les cartes sont données une par une, dans le sens horaire, à partir du joueur à gauche du donneur, selon la variante jouée.
Le rôle de donneur tourne à chaque manche de jeu.

Déroulement du jeu :
Après la donne, les joueurs misent par tours d'enchères successifs, selon les étapes prévues par la variante.
L'action consiste à prendre une décision : se coucher, suivre ou relancer.
Elle commence par le joueur à gauche des blinds lors des tours d'enchères et suit le sens horaire.
Sans blinds, on part du joueur à gauche du donneur (5-Card Draw) ou de la carte la plus faible visible (7-Card Stud).
Le principe de base des enchères est qu'un joueur doit "suivre" en engageant le même montant que la mise la plus élevée pour rester dans la manche. S'il ne le fait pas, il "se couche" et perd ses mises géjà engagées. Il peut également "relancer", c'est-à-dire augmenter la mise, obligeant alors les autres joueurs à suivre, relancer ou se coucher.
Le tour d'enchères se termine lorsque tous les joueurs encore en lice ont, soit abandonné, soit égalisé la mise la plus élevée.

Tours d'enchères :
Une manche comprend plusieurs tours d'enchères selon les variantes.
Pour chaque tour, le nombre de cartes indiqué ci-dessous est le nombre de cartes distribuées, révélées, ajoutées ou échangées, mises à la disposition du joueur, qu'il s'agisse de cartes privées ou communes.
Texas Hold'em et Omaha : 4 tours
- Préflop : 2 cartes privées pour Texas Hold'em et 4 pour Omaha
- Flop : 3 cartes communes
- Turn : quatrième carte commune
- River : cinquième et dernière carte commune
7-Card Stud : 5 tours
- 3rd Street : 3 cartes (2 cachées, 1 visible)
- 4th Street : 1 carte visible
- 5th Street : 1 carte visible
- 6th Street : 1 carte visible
- 7th Street : 1 carte cachée
5-Card Draw : 2 tours
- Après la donne : 5 cartes
- Après l'échange : 0 à 5 cartes

Echange de cartes :
Selon la variante, un joueur peut ou non échanger des cartes qui sont tirées du sabot par le donneur ou par le croupier en casino.
Dans les variantes de type Draw (notamment le 5-Card Draw), un échange de cartes est autorisé après le premier tour d'enchères.
Dans les autres variantes courantes (Texas Hold'em, Omaha, 7-Card Stud), aucun échange n'est possible : les cartes sont uniquement distribuées par la donne.

Fin de manche :
La manche se termine, soit par l'abandon de tous les joueurs sauf un, lequel remporte le pot, soit par l'abattage des cartes après le dernier tour d'enchères.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante au poker, mais il existe une stratégie optimale pour débutants qui consiste à respecter les principes suivants [PER][CHA] :
1. Jouer pour l'espérance : Une décision est bonne si elle est rentable à long terme, même si elle conduit parfois à une perte immédiate.
2. Adapter sa stratégie à sa position : Il faut jouer prudemment lorsqu'on agit tôt dans les tours d'enchères, et agressivement en exploitant l'information disponible lorsqu'on agit tard, idéalement en dernier.
3. Adapter ses mises à la situation : Il faut miser gros lorsqu'on a de bonnes cartes ou pour protéger le pot, et miser peu ou se coucher dans le cas contraire.
4. Bluffer intelligemment : Il faut bluffer juste assez pour rendre l'adversaire indifférent entre suivre et se coucher.
5. Jouer les adversaires : Il faut bluffer plus contre les joueurs prudents et moins contre les suiveurs.
6. Gérer sa cave : Il ne faut jamais risquer trop sur une seule manche et savoir quitter la table à temps.
7. Jouer serré : Pour une stratégie volontairement prudente, il faut participer à seulement 20 % environ des manches d'une partie, d'où la règle ultra-simple selon la variante :
- 5-Card Draw : Se coucher à moins d'avoir une paire haute (JJ, QQ, KK ou AA), ou mieux, dès la donne.
- Texas Hold'em : Se coucher à moins d'avoir une paire, un As accompagné d'une carte haute, ou deux cartes consécutives de même couleur (connecteurs suited), au Préflop.
- Omaha : Se coucher à moins d'avoir deux mains Flush possibles avec des cartes de même couleur (double tirage suited), ou une paire forte (AA ou KK), au Préflop.
- 7-Card Stud : Se coucher à moins d'avoir une paire haute cachée ou trois cartes pouvant former une Quinte ou une Couleur, après la troisième carte.

B7.4. Jeux avec dés :

Les jeux de dés suivants sont des jeux mêlant hasard et stratégie.

1. Le jeu du 101
2. Le Yam's

B7.4.1. Le jeu du 101 :

Le jeu du 101, appelé également Pig ou jeu du Porc, est un jeu de dés simple pour deux ou plusieurs joueurs, mêlant hasard et stratégie.
Attention à ne pas confondre avec le jeu du "Cochon qui rit" (jeu d'assemblage d'un cochon miniature ou dessiné) ou le jeu de "cochons" (ou "Pass the Pigs" : figurines de cochons utilisées comme dés).
Le jeu repose sur un équilibre entre prise de risque et prudence, chaque joueur devant choisir le bon moment pour s'arrêter avant qu'un 1 ne vienne tout annuler.
Le jeu nécessite un dé classique à six faces, une feuille de papier et un crayon pour noter les scores.
Les règles du jeu usuel sont les suivantes [WIK6] :

Configuration initiale :
Le score total de chaque joueur commence à 0.
Objectif :
Les joueurs jouent à tour de rôle.
A son tour, le joueur lance le dé autant de fois qu'il le souhaite.
Tant que la face obtenue est différente de 1, il ajoute la valeur obtenue aux points du tour.
Il peut alors choisir de relancer pour tenter de gagner plus ou s'arrêter pour sécuriser les points du tour et les ajouter à son score total.
En revanche, s'il obtient un 1, tous les points du tour sont perdus (mais pas les points du score total) et son tour s'arrête immédiatement.
Le joueur gagnant est celui qui atteint ou dépasse 101 points au score total, à la fin de son tour.
Variante :
Une variante sévère consiste à remettre le score total du joueur à 0 lorsqu'il obtient un 1.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante au jeu du 101 car le hasard domine. Mais il existe une stratégie optimale fondée sur l'analyse mathématique des probabilités, selon les règles suivantes [PER][CHA].
1. Le nombre optimal de points à viser par tour est d'environ 20 points (seuil optimal pour maximiser l'espérance du gain).
2. Ce seuil est à diminuer à mesure que le score total approche de 101 afin de réduire le risque face à l'adversaire : typiquement 15 points à partir d'un score total de 75 points, puis 10 points à partir de 91 points.
Ces seuils proviennent de l'analyse mathématique par tour isolé : chaque relance a une espérance positive de gain, mais également un risque de 1/6 de perdre l'intégralité des points du tour. Cette espérance devient défavorable lorsque les points accumulés dans le tour approchent 20.
Démonstration :
La valeur moyenne d'un lancer, conditionnellement au fait de ne pas faire 1, est : (2 + 3 + 4 + 5 + 6)/5 = 4
La probabilité de ne pas obtenir 1 est : 5/6
L'espérance brute d'un lancer supplémentaire est donc : (5/6) x 4
Mais il faut tenir compte du risque de perdre les points déjà accumulés dans le tour. Si le joueur a déjà T points dans le tour, l'espérance nette E(T) d'une relance est : E(T) = (5/6) x 4 - (1/6) x T = 3,33 - T/6
La relance reste donc favorable tant que : T < 20

B7.4.2. Le Yam's :

Le Yam's, ou Yahtzee, est un jeu de dés pour un ou plusieurs joueurs, mêlant hasard et stratégie.
Chaque joueur cherche à réaliser des combinaisons de dés pour maximiser son score sur une grille de scores dédiée.
Le jeu trouve son origine au Canada dans les années 1950, sous le nom "Yacht Game". Il aurait été créé par un couple qui le faisait découvrir à ses invités lors de croisières en yacht. Le jeu a ensuite été popularisé et commercialisé en 1956 sous le nom Yahtzee par Edwin S. Lowe.
Le jeu nécessite 5 dés classiques à six faces, une feuille de papier et un crayon pour noter les scores.
Les règles du jeu ordinaire (familial) sont les suivantes [PER][CHA] :

Configuration initiale :
La grille de scores comporte autant de colonnes que de joueurs, et autant de lignes que de combinaisons possibles (voir Figure ci-dessus).
Les lignes sont réparties en deux parties :
- Partie supérieure (ou mineure) : Chaque ligne correspond à une valeur de dé (As, Deux, ..., Six).
   As : somme des faces identiques montrant un As. Score = cette somme (exemple : 1-1-1-1-6 donne 4 points).
   Deux : somme des faces identiques montrant un 2. Score = cette somme.
   Trois : somme des faces identiques montrant un 3. Score = cette somme.
   Quatre : somme des faces identiques montrant un 4. Score = cette somme.
   Cinq : somme des faces identiques montrant un 5. Score = cette somme.
   Six : somme des faces identiques montrant un 6. Score = cette somme.
   Total : total des six scores ci-dessus.
   Bonus : +35 points si Total ≥ 63 points.
   Total 1 : Total + Bonus
- Partie inférieure (ou majeure) :
   Brelan : au moins 3 faces identiques. Score = total de ces faces (exemple : 2-2-2 donne 6 points).
   Carré : au moins 4 faces identiques. Score = total de ces faces (exemple : 3-3-3-3 donne 12 points).
   Full : Un triplet et une paire de faces identiques (exemple : 3-3-3-6-6). Score = 25 points.
   Petite suite : au moins 4 faces qui se suivent (exemple : 2-3-4-5). Score = 30 points.
   Grande suite : au moins 5 faces qui se suivent (exemple : 2-3-4-5-6). Score = 40 points.
   Yam's (ou Quine) : 5 faces identiques (exemple : 4-4-4-4-4). Score = 50 points.
   Chance (ou Joker) : toute combinaison. Score = total des cinq faces. Cette combinaison permet de sauver un tour en évitant de barrer une combinaison.
   Total 2 : total des sept scores ci-dessus.
   Score final : Total 1 + Total 2
Objectif :
Les joueurs jouent à tour de rôle.
A son tour, le joueur lance les cinq dés, sans dépasser trois lancers successifs au total (le premier plus deux relances optionnelles).
Après chaque lancer, il peut reprendre tous ou partie des dés, selon son gré, pour tenter d'obtenir la combinaison voulue.
A la fin de son tour, il remplit obligatoirement une des cases vides de la grille.
Si aucune combinaison n'est possible ou jugée intéressante, il doit barrer une combinaison de son choix.
La partie se termine au bout de 13 tours correspondant aux 13 combinaisons, lorsque toutes les cases de la grille sont remplies pour tous les joueurs.
Le joueur gagnant est celui qui a obtenu le score le plus élevé dans la ligne Score final de la grille.
Variante - Blocage des lignes de la partie supérieure :
Lorsqu'un joueur obtient le score maximum possible dans une ligne de la partie supérieure, cette ligne devient inaccessible aux autres joueurs pour le reste de la partie.
Par exemple, un joueur réalise 3-3-3-3-3 dans la combinaison Trois. La ligne Trois est alors barrée pour tous les autres joueurs.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante au Yam's car le hasard domine. Mais il existe une stratégie optimale basée sur les règles suivantes [PER][CHA].
1. Partie supérieure : Viser le Bonus de 35 points et le blocage des lignes de la partie supérieure.
2. Scores variables (Partie supérieure, Brelan, Carré) : toujours relancer jusqu'au 3ème lancer pour maximiser le score.
3. Scores fixes (Full, Petite suite, Grande suite) : s'arrêter immédiatement dès que la combinaison est obtenue.
4. Ligne Chance : La réserver pour des scores élevés, ou en dernier recours pour éviter de barrer une combinaison.
5. Stratégie globale (timing) :
   - En début de partie (tours 1 à 4), viser en priorité les scores fixes (Full, Petite suite, Grande suite) qui sont relativement accessibles et libèrent la partie supérieure pour plus tard.
   - En milieu de partie (tours 5 à 9), viser les scores variables (Partie supérieure, Brelan, Carré) pour accumuler des scores élevés, y compris le Bonus.
   - En fin de partie (tours 10 à 13), viser Yam's et Chance avec scores élevés afin de maximiser le Score final ou de sauver les dernières cases vides.

B7.5. Jeux sur feuille de papier :

Les jeux suivants, faciles à mettre en place avec une simple feuille et un crayon, mettent en oeuvre des stratégies basées sur le contrôle de l'espace de jeu.

1. La bataille navale
2. Le jeu de Zip
3. Le morpion 10 x 10
4. Tic-tac-toe

B7.5.1. La bataille navale :

La bataille navale, appelée aussi touché-coulé, est un jeu de société dans lequel deux joueurs doivent placer des "bateaux" sur une grille tenue secrète et tenter de "toucher" les bateaux adverses.
Les règles du jeu usuel en France et en Belgique sont les suivantes [WIK2] :

Configuration initiale :
Chaque joueur dispose de deux grilles quadrillées 10 x 10 et numérotées comme les grilles de mots croisés (en France : lignes de haut en bas de 1 à 10 et colonnes de gauche à droite de A à J).
Chaque joueur dispose aussi d'une flotte composée de 10 bateaux symbolisés par des rectangles d'une à quatre cases de long, comme suit :
- 1 grand bateau de 4 cases
- 2 bateaux moyens de 3 cases
- 3 bateaux moyens de 2 cases
- 4 petits bateaux de 1 case
Les formes en L, en T, en carré, en zigzag ou discontinues sont interdites.
L'une des grilles (grille personnelle) représente la zone contenant sa propre flotte. Au début du jeu, chaque joueur place tous les bateaux sur sa grille, verticalement ou horizontalement, en dessinant chaque bateau par un rectangle plus appuyé.
Deux bateaux doivent être séparés d'au moins une case et sans se toucher par un coin. Les cases non occupées représentent l'eau.
L'autre grille (grille de tir) représente la zone adverse, où chaque joueur cherchera à couler les bateaux de son adversaire.
Objectif :
Les joueurs jouent à tour de rôle en annonçant une case (par exemple "B6"). L'adversaire répond obligatoirement par l'une des annonces suivantes :
- "A l'eau" si le tir tombe à l'eau
- "Touché" si le tir touche un bateau en laissant des cases intactes
- "Coulé" si le tir touche la dernière case intacte d'un bateau
Sur sa grille de tir, le joueur marque :
- un point (.) pour un tir "à l'eau"
- une croix (X) pour un tir "touché"
- une croix cerclée (⊕) pour un tir "coulé". Juste après ce tir, le joueur doit également marquer par un point (.) toutes les cases non déjà marquées entourant le bateau coulé afin de matérialiser la règle de non-contact.
Le gagnant est celui qui parvient le premier à "couler" tous les bateaux de l'adversaire.
Exemple :
La Figure ci-dessus montre un exemple de bataille navale, avec grille personnelle du joueur adverse (non connue du joueur) et grille de tir du joueur.
Le premier tir est réalisé sur la case A1. Les suivants se succèdent ligne après ligne, de gauche à droite, et de haut en bas, selon la stratégie optimale (voir ci-dessous).
Pour ne pas alourdir la Figure, la grille de tir ne comporte pas les marques supplémentaires (.) posées sur les cases non marquées entourant les bateaux coulés, juste après un tir "coulé".
A l'issue du balayage total de cette grille de tir, tous les bateaux de taille 2 cases ou plus sont coulés. Ne restent que 3 petits bateaux de taille 1 case (A2, E4 et A10) à trouver ensuite en 14 tirs maximum (cases grisées sur la Figure).
Variante :
Chaque joueur tire une salve de trois tirs successifs. Cette variante accélère la partie.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante à la bataille navale. Mais il existe une stratégie optimale basée sur les règles suivantes [PER][CHA] :
1. Phase de placement : Dispersion maximale.
   - Répartir les bateaux sur toute la grille afin de limiter les corrélations spatiales et rendre toute information locale peu exploitable.
   - Privilégier le centre de la grille. Les cases centrales autorisent davantage de placements possibles, ce qui permet aux bateaux de se fondre dans l'incertitude (camouflage statistique).
   - Eviter les coins et les regroupements. En exploration intuitive, ces zones font l'objet d'un ciblage préférentiel psychologique ("zones suspectes"). En exploration systématique (maillage, damier), les coins sont atteints en tirs précoces et les regroupements favorisent des tirs concentrés susceptibles de déclencher l'abandon de la recherche systématique au profit d'une fouille ciblée.
2. Phase de recherche : Nombre de tirs minimum.
   - Colorier mentalement la grille adverse selon un damier comportant des cases noires et blanches alternées (comme sur un jeu de dames).
   - Choisir une couleur puis balayer exhaustivement les cases de cette couleur, en tirant uniquement sur les cases non déjà marquées par (.),(X) ou (⊕).
   - Dès qu'un tir est annoncé "touché", abandonner la recherche et passer en phase de poursuite.
   - Ce balayage en 50 tirs maximum permet de couler tous les bateaux de taille 2 cases ou plus.
   - A l'issue de ce balayage, rechercher les bateaux restants de taille 1 case, en tirant au hasard sur les n cases restantes non marquées (n = 15 en moyenne). Le nombre moyen de tirs (E) pour trouver les k bateaux restants est alors de 12 tirs si k = 3 (selon la formule E = k (n + 1)/(k +1)).
3. Phase de poursuite (après un "touché") : Pugnacité.
   - Tirer immédiatement sur les cases adjacentes orthogonales afin de localiser et détruire le bateau touché.
   - Déterminer l'orientation du bateau (vertical ou horizontal) dès le deuxième touché.
   - Continuer dans la direction correspondante jusqu'à destruction complète du bateau.
   - Ne jamais revenir à la recherche globale tant que le bateau n'est pas coulé.

B7.5.2. Le jeu de Zip :

Le jeu de Zip, ou Formule 1, ou Course sur papier, ou Racetrack, popularisé par Martin Gardner en 1973, est un jeu ludique dans lequel un ou plusieurs joueurs réalisent une course de vitesse sur une piste dessinée sur papier quadrillé, en faisant intervenir de manière réaliste les contraintes d'accélération et de freinage.
Les règles du jeu de base sont les suivantes [WIK3] :

Configuration initiale :
Le jeu nécessite une feuille de papier quadrillée (à grand carreaux si possible), une gomme et un crayon par joueur (de couleurs différentes si possible).
La piste est dessinée sur la feuille selon deux bords sinueux plus ou moins parallèles, terminés par une ligne droite de départ, large d'autant de carreaux qu'il y a de joueurs, et une ligne d'arrivée.
Les bords de piste peuvent être uniquement des segments de droite. Cela évite d'avoir à trancher des situations litigieuses.
La piste peut être aussi une boucle fermée avec même ligne de départ et d'arrivée (voir Figure ci-dessus).
Chaque joueur marque au crayon la position de départ de sa voiture, qui est un des points de quadrillage sur la ligne de départ.
Objectif :
Les joueurs jouent ensuite à tour de rôle.
Le gagnant est le premier joueur à toucher ou franchir la ligne d'arrivée.
Règles de déplacement :
1. Tout déplacement menant sur une position déjà occupée par un autre joueur est interdit.
2. Le premier déplacement se fait d'une case vers l'avant de la piste, représenté par un vecteur reliant le point de départ à l'un de ses trois points voisins situés dans le sens de la course.
3. A chaque coup, le joueur prolonge le déplacement précédent en reportant le vecteur depuis sa position actuelle. Le point obtenu est appelé point principal. Le joueur peux également choisir de se déplacer sur l'un des huit points voisins du point principal (voir Figure ci-dessus). Ces choix simulent l'accélération ou le freinage maximum autorisé compte-tenu de l'inertie de la voiture.
Cas de faute :
1. Lorsqu'un joueur sort de la piste en franchissant l'un des bords, l'un des deux types de pénalités peut être appliqué au tour suivant (à convenir en début de partie) :
   - Pénalité douce (avec freinage d'urgence) : Le joueur passe son tour. Au tour suivant, le vecteur correspondant à la sortie de piste est remis à zéro. Le joueur redémarre en se se déplaçant sur l'un des huit points voisins de sa position (point principal confondu avec la position courante). Cette règle sanctionne l'erreur sans élimer le joueur de la course, en lui offrant une seconde chance de gagner.
   - Pénalité stricte (avec course de récupération) : Le joueur doit réintégrer la piste en franchissant le bord en un point situé derrière celui où il a quitté la piste. Plus la vitesse est grande au moment de la sortie, plus le nombre de mouvements pour revenir sur la piste est élevé. Cette règle réduit considérablement les chances de gagner après une erreur.
2. Sur certaines pistes très sinueuses, il peut arriver qu'un déplacement hors piste corresponde à un vecteur qui coupe deux fois le bord de la piste, avec un point de départ et un point d'arrivée tous deux situés à l'intérieur de la piste. Ce type de "raccourci hasardeux" est autorisé et ne constitue pas une sortie de piste.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante au jeu de Zip. Mais il existe une stratégie optimale basée sur les règles suivantes [PER][CHA] :
1. Anticiper les virages en ralentissant progressivement pour maximiser la vitesse moyenne sur l'ensemble de la course.
2. Eviter les accélérations et les changements de direction brusques afin de réduire les risques de sortie de piste.
3. Dans les virages, négocier les courbes comme le fait un pilote automobile : approcher le virage en cotoyant le bord extérieur de la piste. Pendant le virage, maintenir cette trajectoire tant que la sortie du virage n'est pas visible. Puis couper progressivement le virage pour rejoindre la ligne droite. Cette trajectoire minimise la distance parcourue dans la courbe et aide à préserver une vitesse de sortie élevée.

B7.5.3. Le morpion 10 x 10 :

Le morpion 10 x 10, ou "Tic-tac-Toe étendu", est un jeu stratégique pour deux joueurs, dont le but est d'être le premier à aligner une série de 5 symboles identiques sur une grille 10 x 10.
Les règles du jeu de base sont les suivantes [WIK7] :

Configuration initiale :
Le jeu nécessite une feuille de papier quadrillée (de taille 10 x 10 en général) et un crayon par joueur.
La grille est vide au début de la partie.
Chaque joueur choisit un symbole distinct : X ou O
Le joueur X commence toujours la partie et a donc un avantage, non pas géographique (position sur la grille), mais fonctionnel (rôle offensif avec toujours un coup d'avance).
Pour rétablir l'équilibre, on peut appliquer la "pie rule". Après le premier coup de X, le joueur O choisit soit de conserver son rôle O, soit d'échanger les symboles (il devient X et son adversaire devient O). Selon la qualité du premier coup ou sa préférence personnelle, le joueur O peut ainsi choisir librement son rôle (offensif ou défensif) pour la suite de la partie, chaque rôle présentant un intérêt selon le style de jeu du joueur.
Objectif :
Les joueurs jouent à tour de rôle.
A son tour, le joueur place un seul symbole dans une case vide. Le symbole est définitif et ne peut pas être retiré ou déplacé.
Le joueur gagnant est celui qui crée le premier un alignement d'au moins 5 symboles identiques consécutifs, horizontalement, verticalement ou en diagonale (voir exemple de début de partie sur Figure ci-dessus).
Si la grille est entièrement remplie sans aucun alignement formé, la partie est déclarée nulle.
Variante :
La partie se termine lorsque la grille est entièrement remplie. Le gagnant est le joueur ayant réalisé le plus grand nombre d'alignements gagnants.
Un alignement gagnant est une série d'au moins 5 symboles identiques consécutifs sans interruption (les alignements de 6 ou plus sont également gagnants). Les séries, courtes ou longues, comptent comme un seul alignement et ne peuvent ni se chevaucher ni se croiser.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante au morpion 10 x 10. Mais il existe une stratégie optimale basée sur les règles suivantes [PER][CHA] :
Règles à prioriser dans l'ordre suivant (Légende : 'X' pour le joueur, 'O' pour l'adversaire, '_' pour une case vide) :
1. Victoire immédiate : Compléter un XXXX_ ou XXX_X ou XX_XX ou X_XXX
2. Défaite écartée : Bloquer impérativement un OOOO_ ou OOO_O ou OO_OO ou O_OOO
3. Fourchette écartée : Bloquer impérativement une fourchette potentielle de l'adversaire.
4. Attaque double (fourchette) : Placer un X créant simultanément deux menaces immédiates dans deux lignes distinctes, chacune formant un alignement de quatre X avec une case libre située soit en extrémité, soit à l'intérieur de l'alignement.
5. Attaque simple : Créer un XXXX_ ou XXX_X ou XX_XX ou X_XXX
6. Prolonger les alignements (plutôt que jouer isolé).
7. Privilégier le centre de la grille et les intersections (cases vides situées au croisement de deux ou plusieurs alignements existants).

B7.5.4. Tic-tac-toe :

Tic-tac-toe est une version standard réduite du jeu de morpion 10 x 10 [WIK8]. Les différences avec la version 10 x 10 sont les suivantes :
- Grille de taille 3 x 3 (au lieu de 10 x 10) avec un repérage des cases réduit (A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3).
- Alignement de 3 symboles identiques (au lieu de 5 symboles identiques consécutifs au moins).
- Remplacement possible de la règle d'équilibre "pie rule" par la règle où chaque joueur joue deux parties, une en tant que X et une en tant que O. Le gagnant est celui qui remporte au moins une des deux parties sans en perdre aucune. Dans tous les autres cas, le match est déclaré nul.
- Victoire au premier alignement (la variante consistant à compter le nombre d'alignements est exclue).
- Stratégie optimale particulière due à la présence immédiate des bords de grille (voir ci-dessous).

Analyse du jeu :
Si les deux joueurs jouent parfaitement, la partie se termine toujours par un match nul.
Le joueur X commence la partie. Son premier coup peut appartenir à trois classes de positions distinctes sur la grille : la case centrale, l'un des coins ou l'une des cases latérales.
Le joueur O répond avec un coup qui peut appartenir à cinq classes de positions distinctes : la case centrale, l'un des coins (adjacent ou distant de la case X) ou l'une des cases latérales (adjacente ou distante de la case X).
Ce qui fait 12 cas possibles hors cases équivalentes par symétrie (voir Figure ci-dessus), avec les résultats suivants lorsque le joueur X joue parfaitement :
- Si X joue la case centrale, alors la partie est gagnée par X si O joue par erreur une case latérale (cas 2 de la Figure), et nulle dans le cas contraire (O joue une case de coin).
- Si X joue une case de coin, alors la partie est gagnée par X si O joue par erreur une case de coin ou latérale (cas 4 à 7 de la Figure), et nulle dans le cas contraire (O joue la case centrale).
- Si X joue une case latérale, alors la partie est gagnée par X si O joue par erreur une case latérale adjacente à celle de X (cas 11 de la Figure), et nulle dans le cas contraire (O joue la case centrale, une case de coin ou la case latérale opposée à celle de X).
Les stratégies d'ouverture optimale pour chaque joueur sont alors les suivantes :

* Joueur X :
- Pour éviter des cas défavorables (en particulier le cas 11 : X latéral suivi de O latéral adjacente à X), X doit jouer en premier soit la case centrale, soit l'un des coins (cas 1 à 7).
- Dans la majorité des réponses possibles de O (cas 2, 4, 5, 6 et 7), cette ouverture place X dans une position pratiquement gagnante.
- Dans les autres cas (cas 1 et 3), X laisse à O une situation défensive délicate dès son second coup, où O doit jouer un coup souvent unique combinant prévention des fourchettes et attaque simple pour maintenir le match nul.
- Toute victoire de X repose donc sur une erreur de O.

* Joueur O :
- A son premier coup, O doit jouer la case centrale si elle est libre et, à défaut, l'un des coins adjacents à la case initiale X (cas 1, 3, 8, 9), ce qui écarte d'office certains cas défavorables. Cette stratégie garantit le match nul si les deux joueurs jouent parfaitement. Toute autre réponse peut conduire à une défaite de O.
- A son second coup, O doit impérativement jouer la case (souvent unique) qui, à la fois, neutralise toutes les fourchettes potentielles de X et le force à répondre à un alignement de O, lorsque ce forçage est possible (voir les cases mises en jaune sur la Figure).
- O est ainsi doublement désavantagé : pour obtenir le match nul, il doit jouer sans aucune erreur ses deux premiers coups critiques : le premier (centre ou coin adjacent) et le second (anti-fourchettes + attaque simple).
- Toute victoire de O nécessite donc une erreur de X.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante au tic-tac-toe. Mais il existe une stratégie optimale basée sur les règles suivantes [PER][CHA] :
Règles à prioriser dans l'ordre suivant (Légende : 'X' pour le joueur, 'O' pour l'adversaire, '_' pour une case vide) :
1. Victoire immédiate : Compléter un XX_ ou X_X
2. Défaite écartée : Bloquer impérativement un OO_ ou O_O
3. Fourchette écartée : Bloquer impérativement une fourchette potentielle de l'adversaire.
4. Attaque double (fourchette) : Placer un X créant simultanément deux menaces immédiates dans deux lignes distinctes, chacune formant un alignement XX_ ou X_X
5. Attaque simple : Créer un XX_ ou X_X

B7.6. Jeux de loterie :

Les jeux de loterie, tels que le Loto, la roulette ou les machines à sous, forment une vaste famille de jeux d'argent où le hasard prime sur la stratégie. A long terme, le joueur subit des pertes inéluctables en raison d'une espérance mathématique négative.
En pourcentage approximatif du coût de participation, la perte moyenne du joueur par unité de mise (une grille ou un jeton) est en effet la suivante :
- Loto FDJ télévisé (60 %)
- EuroMillions (50 %)
- Ticket à gratter (45 %)
- Rapido (33 %)
- Boule (11 %)
- Roulette américaine - mise spéciale 5 numéros (8 %)
- Machine sous classique à trois rouleaux (6 %)
- Roulette américaine - autres mises (5 %)
- Roulette française (3 à 1 % selon règles spéciales).
On observe ainsi que les loteries type Loto redistribuent peu aux joueurs, tandis que les casinos mieux structurés entraînent des pertes moindres, surtout sur la roulette française.
Attention : Les organismes de jeux annoncent souvent un taux de redistribution global par mise (TRG) calculé à partir des gains pondérés par leur probabilité.
Ce taux est doublement trompeur : arrondi à la hausse et surtout masquant la perte réelle du joueur. Par exemple, au jeu de Boule, le TRG de 90 % correspond en réalité à une espérance négative par mise (E = TRG - 1) de -11 %

1. Le loto français
2. La roulette
3. La boule
4. Les machines à sous

B7.6.1. Le loto français :

Le loto français est un jeu de hasard individuel ou collectif, admettant une dimension stratégique très limitée.
Deux variantes principales existent :
- Loto traditionnel : pratiqué lors de fêtes locales ou dans un cadre associatif, avec des cartons de jeu de 90 numéros.
- Loto FDJ télévisé : proposé par la Française des Jeux (FDJ), avec des grilles de 49 numéros + 10 numéros pour le numéro Chance.

B7.6.1.1. Loto traditionnel [PER][CHA] :

Matériel :
- Machine de tirage : boulier ou dispositif équivalent.
- Boules : 90 boules numérotées de 1 à 90.
- Cartons de jeu : carton prédéfini remis aux joueurs avant la partie (voir Figure ci-dessus).
   - Chaque carton contient 1 à 3 grilles.
   - Chaque grille = 3 lignes 9 cases.
   - Chaque ligne = 5 numéros et 4 cases vides.
   - Certains cartons ont 2 lignes de 5 cases numérotées (1 à 10) en haut à gauche pour repérage administratif.
   - Tous les cartons et toutes les grilles participent au même tirage, mais les gains sont calculés par grille.

Remplissage des grilles :
- Les joueurs cochent sur leurs grilles les numéros tirés.
- Les cases vides ne doivent pas être cochées. Toute coche parasite entraîne l'invalidation de la grille.
- Chaque grille est indépendante. Utiliser plusieurs grilles multiplie simplement les chances de gagner.

Conditions de gain :
- Il y a gain dès qu'une des figures suivantes est obtenue sur une grille :
   - Quine : 5 numéros cochés sur une ligne horizontale.
   - Double quine : 10 numéros cochés sur deux lignes horizontales.
   - Grille pleine : 15 numéros cochés sur toute la grille.
- Seules les lignes horizontales comptent. Aucune autre configuration (verticale, diagonale) n'est valide.
- Les montants des gains pour une grille sont donnés par le tableau suivant :

A noter dans ce tableau :
La probabilité (p) est la probabilité théorique minimale, correspondant à une figure obtenue exactement au premier instant possible.
En pratique, le tirage se poursuit, ce qui augmente légèrement les probabilités. Par ailleurs, jouer plusieurs grilles augmente les probabilités de manière proportionnelle au nombre de grilles.
La probabilité (p) se calcule comme suit, avec n = nombre de numéros gagnants requis (5, 10 ou 15) :
   p(n) = C(n, n) C(90 - n, 0) / C(90, n) = 1/C(90, n) avec :
   Coefficient binomial C(a, b) = a! / (b! (a - b)!)
   C(n, n) = 1 : nombre de façons de choisir les n numéros gagnants parmi les n numéros constituant la figure.
   C(90 - n, 0) = 1 : nombre de façons de choisir zéro numéro perdant parmi les (90 - n) numéros restants.
   C(90, n) : nombre total de tirages possibles de n numéros parmi 90.
Les probabilités associées aux différentes figures (quine, double quine et grille pleine) sont donc extrêmement faibles, quasi nulles.

Déroulement du tirage :
- Les dates des tirages sont fixées par l'organisateur du loto.
- Chaque figure (quine, double quine, grille pleine) est associée à un nombre maximal de boules pouvant être tirées, typiquement : 40 pour la quine, puis 20 supplémentaires pour la double quine et 15 supplémentaires pour la grille pleine. Ces plafonds cumulatifs sont annoncés en début de soirée par l'organisateur.
- Le tirage commence après distribution des cartons.
- Les numéros sont tirés un à un, puis annoncés ou affichés.
- Un joueur pensant avoir une figure lève la main et l'annonce clairement.
- Le tirage est interrompu pour vérifier et valider les gains.
- Il se poursuit jusqu'à ce que toutes les figures prévues soient réalisées ou jusqu'à épuisement des 90 numéros.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante au loto traditionnel. Contrairement au Loto FDJ où une gestion rationnelle du risque reste possible, le loto traditionnel n'offre aucune stratégie viable : ni choix de grille (carton fixe imposé), ni contrôle sur les tirages (séquentiels sans intervention).
Au vu des probabilités extrêmement faibles associées aux différentes figures, le loto traditionnel ne peut donc être considéré comme un jeu de gain, mais uniquement comme un jeu de divertissement collectif.

B7.6.1.2. Loto FDJ télévisé [PER][CHA] :

Matériel :
- Machine de tirage FDJ.
- Boules : 49 boules numérotées de 1 à 49 pour les 5 numéros principaux. Une boule complémentaire ("numéro Chance") est tirée ensuite parmi 10 boules numérotées de 1 à 10.
- Bulletins de jeu : achetés dans les bureaux de tabac (voir Figure ci-dessus).
   - Chaque bulletin contient 1 à plusieurs grilles à remplir librement par le joueur ou proposée automatiquement par le terminal FDJ (mode "FLASH").
   - Chaque grille = 5 numéros choisis parmi 49, et 1 numéro optionnel ("numéro Chance") choisis parmi 10.
- Terminal FDJ dans les bureaux de tabac, disposant de deux entrées possibles (manuel/Flash), d'un lecteur scanner des bulletins et d'une sortie papier (reçu de participation et de preuve légale).

Remplissage des grilles :
- Les joueurs remplissent leurs grilles avant le tirage.
- Chaque grille est indépendante. Utiliser plusieurs grilles multiplie simplement les chances de gagner.

Conditions de gain :
- Il y a gain sur une grille selon le nombre de numéros corrects, y compris le numéro complémentaire.
- Les montants des gains pour une grille simple sont donnés par le tableau suivant :

A noter dans ce tableau :
1. Le gain (G) est le gain en euros, versé par la FDJ par grille standard pour un coût de participation c = 2,20 euros, correspondant au barème officiel de la FDJ, variable selon le tirage. Les valeurs de G indiquées dans le tableau sont un exemple illustratif mais plausible.
2. La probabilité (p) est la probabilité qu'une combinaison donnée aboutisse au gain G. Elle se calcule comme suit, avec n = nombre de numéros gagnants :
   p(n) = C(5, n) C(44, 5 - n) / C(49, 5) et p(n + Chance) = p(n) x 1/10 avec :
   Coefficient binomial C(a, b) = a! / (b! (a - b)!)
   C(5, n) : nombre de façons de choisir les n numéros gagnants parmi les 5 tirés
   C(44, 5 - n) : nombre de façons de choisir les (5 - n) numéros perdants parmi les 44 non tirés.
   C(49, 5) : nombre total de combinaisons possibles de 5 numéros parmi 49
3. L'espérance mathématique (E) de la grille est la différence entre le gain espéré ∑_i [G_i x p_i] et le coût c, soit : E_grille = -1,297 euros
En moyenne, sur chaque grille simple, le joueur perd donc environ 1,30 euros sur un coût de 2,20 euros, soit près de 60 % du montant misé.

Déroulement du tirage :
- Les dates officielles des tirages sont : lundi, mercredi et samedi soir.
- Le tirage est diffusé en direct ou sur plateformes officielles.
- Les 5 numéros principaux et le complémentaire sont tirés de manière continue.
- Les résultats sont vérifiés individuellement après le tirage.
- Les gains sont attribués automatiquement selon les règles officielles.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante au loto FDJ car le hasard intervient à deux niveaux :
- celui des numéros gagnants. Toutes les grilles sont équiprobables avec une probabilité fixe indépendante du choix du joueur.
- celui des gains qui sont variables avec le nombre de joueurs. Le Jackpot (5 numéros + Chance) et le "5 numéros" sont partagés entre gagnants.
Mais il existe une stratégie rationnelle de gestion du risque, basée sur les règles suivantes [PER][CHA] :
1. Définir un budget par tirage : par exemple 5 à 10 grilles maximum, pour un coût entre 11 et 22 euros.
2. Respecter strictement votre budget : le loto FDJ demeure un divertissement coûteux, avec une perte statistique moyenne de 1,30 euros par grille, soit près de 60 % du coût.
3. Répartir le jeu dans le temps, non pour augmenter l'espérance de gain (qui reste négative), mais pour limiter l'impact psychologique des pertes ponctuelles.
4. Varier les grilles (choix personnels et FLASH) afin de diversifier les combinaisons et de rendre le jeu plus ludique.

B7.6.2. La roulette [PER][CHA] :

         

La roulette est un jeu de hasard à plusieurs joueurs indépendants, admettant une dimension stratégique très limitée.
Elle se joue généralement de 1 à 9 joueurs, selon la taille du tapis de jeu.

Matériel :
1. Une roue de roulette (ou "cylindre") : roue circulaire compartimentée en cases numérotées et colorées, montée sur un axe permettant une rotation libre. La roue peut être européenne ou française (37 cases avec un seul zéro), ou américaine (38 cases avec deux zéros).
2. Une bille : petite sphère destinée à circuler dans la roue et à se fixer dans l'une des cases lors de l'arrêt de la roue.
3. Un tapis (ou table) de jeu : surface plane portant les numéros et types de mises possibles, sur laquelle les joueurs placent leurs mises.
4. Les jetons : unités utilisées par les joueurs pour matérialiser leurs mises.

Disposition des numéros sur la roue :
En roulette européenne, française et américaine, l'ordre exact des numéros sur la roue, en commençant par le zéro et en allant dans le sens des aiguilles d'une montre, est historique et ne suit aucune règle mathématique simple. Cet ordre est le suivant (voir Figures ci-dessus [BLE][GUI1][GUI2]) :
- Roulette européenne et française (37 cases avec un seul zéro) : 0, 32, 15, 19, 4, 21, 2, 25, 17, 34, 6, 27, 13, 36, 11, 30, 8, 23, 10, 5, 24, 16, 33, 1, 20, 14, 31, 9, 22, 18, 29, 7, 28, 12, 35, 3, 26
- Roulette américaine (38 cases avec 0 et 00) : 0, 28, 9, 26, 30, 11, 7, 20, 32, 17, 5, 22, 34, 15, 3, 24, 36, 13, 1, 00, 27, 10, 25, 29, 12, 8, 19, 31, 18, 6, 21, 33, 16, 4, 23, 35, 14, 2
L'ordre des numéros sur la roue est conçu pour obtenir un équilibre optimal et garantir l'équité du jeu. Si l'on sépare la roue en deux au niveau du zéro :
- Chaque moitié contient exactement le même nombre de rouges et noirs
- Chaque moitié contient exactement le même nombre de pairs et impairs
- Chaque moitié contient exactement le même nombre de manque (1-18) et passe (19-36)
- Chaque moitié contient exactement une moitié de chaque douzaine.
- Chaque moitié contient exactement une moitié de chaque colonne.
Les numéros 0 et 00 sont verts. Les numéros 1 à 36 comprennent 18 rouges et 18 noirs, disposés en alternance stricte rouge/noir autour de la roue, sans aucun doublon de couleur.
Pour ces trois variantes de roulette, la couleur des numéros de 1 à 36 peut être mémorisée simplement comme suit : les numéros dont la somme des chiffres est impaire sont rouges, ceux dont la somme est paire sont noirs. Cette règle admet deux exceptions : les numéros 10 et 28, qui sont noirs.
La disposition des numéros sur la roue a toutefois peu d'importance d'un point de vue probabiliste, tant que la roulette est mécaniquement parfaite et non usée, c'est-à-dire sans défauts minimes d'équilibrage ou de rugosité favorisant une portion de la roue. Historiquement, cette disposition pouvait légèrement atténuer les biais mécaniques locaux [TOU], mais aujourd'hui, avec des roues parfaitement équilibrées et un contrôle statistique rigoureux par les casinos, cet effet est devenu pratiquement nul.

Déroulement d'un tour :
Le but du jeu est de prédire correctement la case ou la couleur où la bille va s'arrêter.
Un tour typique se déroule ainsi :
- Le croupier fait tourner la roue et lance la bille en sens inverse.
- Les joueurs placent leurs mises sur le tapis avant que la bille ne s'immobilise.
- La bille s'arrête dans une case.
- Les gains sont payés en fonction des mises.

Le croupier [WIK10] :
Le croupier est un employé du casino. Il manipule la bille et la roue, enregistre les mises, règle les gains des joueurs et annonce les phases de jeu à l'aide de formules consacrées :
- "Faites vos jeux" : début de la période de mises.
- "Les jeux sont faits" : lancement de la bille. Aucune nouvelle mise n'est acceptée.
- "Rien ne va plus" : confirmation de la clôture des mises. L'issue du coup est imminente.imminent.
- "4 rouge pair et manque" (exemple) : annonce du numéro gagnant et de ses caractéristiques (couleur, parité, plage).
- "Rien au numéro" : aucun joueur n'a gagné sur une mise en Plein.
- "Rien ne va" : la bille est sortie accidentellement de la roue avant de s'immobiliser. Le coup est annulé et rejoué.

Types de mise :

On peut classer les mises en trois grandes catégories selon l'emplacement de la mise sur le tapis :
- Mises internes (voir Figure 1 ci-dessus, repères 1 à 5) : mises placées directement sur un ou plusieurs numéros de la grille, couvrant des numéros précis (Plein, Cheval, Transversale, Carré, Sixain).
- Mises externes simples (voir Figure 1 ci-dessus, repères 6 à 8) : mises placées à l'extérieur de la grille, portant sur des caractéristiques ou groupes de numéros (couleur, parité, Manque/Passe, Douzaine, Colonne).
- Mises externes spéciales (voir Figure 2 ci-dessus) : mises annoncées par le joueur et constituées de plusieurs mises internes réparties par le croupier sur le tapis, couvrant un secteur particulier de la roue (Tiers du Cylindre, Voisins du Zéro, Orphelins, Jeu Zéro).

Le tableau suivant couvre tous les types de mise classiques en roulette européenne (EU), française (FR) et américaine (US) [WIK10] :

A noter dans ce tableau :
1. Le gain (G) est le gain total en jetons (mise comprise), versé par le casino pour 1 jeton misé (coût c = 1), lorsque la mise est gagnante. Par exemple, si le joueur mise 1 jeton sur un numéro Plein gagnant, il récupère 35 + 1 soit 36 jetons.
2. La probabilité (p) est la probabilité qu'un tour de roulette aboutisse à un gain total G pour un jeton misé.
   - Pour les mises à gain fixe (Plein, Chance simple, Douzaine, etc.), p est la probabilité physique que l'événement gagnant se produise.
   - Pour les mises composées ou les règles spéciales ("La Partage", "En Prison"), p peut être une probabilité effective, intégrant des gains partiels, des neutralisations (zéro) ou des tours conditionnels.
3. L'espérance mathématique (E) est la différence entre le gain espéré (G x p) et le coût c, soit : E = (G x p) - c
   En roulette européenne et française, et hors règles spéciales "Le Partage" et "En Prison" (voir ci-dessous), on trouve : E = -1/37 = -0,027, soit une perte moyenne de 2,7 % par mise, quelle que soit le type de mise (interne ou externe).
4. L'indication N/A signifie : Non Applicable.
5. Bien que l'espérance soit identique pour toutes les mises, distinguer Chances simples et Chances multiples est important pour le joueur car :
   - Les Chances simples sont des mises à gain faible et forte probabilité, donc offrant des gains moins spectaculaires mais plus fréquents, idéales pour un joueur prudent.
   - Les Chances multiples sont des mises à gain élevé et faible probabilité, donc offrant des gains plus volatils, adaptées à un joueur audacieux.
6. Pour les mises externes spéciales, la disposition des jetons sur la grille est la suivante ;
   Attention : dans certaines impressions sur roue de fabricant ainsi que dans des photos d'articles, le num ro 27 est classé à tort parmi les Orphelins alors qu'il appartient au Tiers du Cylindre.
   - Tiers du Cylindre (6 jetons pour 12 numéros, voir Figure 3 ci-dessus) : 6 jetons, un sur chaque Cheval (5/8, 10/11, 13/16, 23/24, 27/30, 33/36)
   - Voisins du Zéro (9 jetons pour 17 numéros, voir Figure 4 ci-dessus) : 1 jeton sur le z ro + 8 jetons, un sur chaque Cheval (4/7, 12/15, 18/21, 19/22, 32/35), deux sur Transversale (0-2-3), deux sur Carré (25-26-28-29)
   - Orphelins (5 jetons pour 8 numéros, voir Figure 5 ci-dessus) : 1 jeton sur le num ro 1 + 4 jetons, un sur chaque Cheval (6/9, 14/17, 17/20, 31/34)
   - Jeu Zéro (4 jetons pour 7 numéros, voir Figure 6 ci-dessus) : 1 jeton sur le numéro 26 + 3 jetons, un sur chaque Cheval (0/3, 12/15, 32/35)
7. La roulette américaine standard diffère de la roulette européenne et française par des probabilités légèrement plus faibles (donnant E = -2/38) et l'ajout d'une mise spéciale : la mise de Cinq numéros 0-00-1-2-3 (donnant E = -3/38). L'espérance E passe de -2,7 % à respectivement -5,26 % et -7,89 %, nettement moins favorable pour le joueur.
8. Les limites de mise, variables selon le type de mise et la variante de roulette, s'étendent typiquement de 1 à 1000 euros pour les Chances simples (afin de satisfaire la majorité des joueurs) et de 1 à 100 euros pour les Chances multiples (afin de protéger la trésorerie du casino en cas de gains ponctuels très élevés).

Les numéros verts :
Lorsque la bille tombe sur un numéro vert (0, et 00 pour la roulette américaine), toutes les mises couvrant le 0 sont gagnantes (Plein 0, Chevaux 0-1, 0-2 et 0-3, Carré 0-1-2-3, Cinq numéros US, Voisins du Zéro, Jeu Zéro). Toutes les autres mises sont perdantes, à l'exception des Chances simples en roulette française lorsqu'elles bénéficient des règles spéciales suivantes :

La Partage, où le joueur récupère la moitié de sa mise, ce qui conduit à une espérance E = -1/74 = -1,35 %
Démonstration : Sur cas non-zéro, le casino verse au joueur (mise comprise) G = 2 avec probabilité 18/37. Sur cas zéro, le casino verse G = 0,5 avec probabilité 1/37. D'où E = ∑[G_i x p_i] - c = 36/37 + 0,5/37 - 1 = -1/74

En Prison, où la mise est conservée pour le coup suivant et n'est perdue que si ce second tirage est défavorable, ce qui conduit à une espérance par mise E = -1/74 = -1,35 %
Démonstration : Sur cas non-zéro, le casino verse au joueur (mise comprise) G = 2 avec probabilité 18/37. Sur cas zéro, et en supposant que le zéro ne sorte pas deux fois de suite, le casino verse G avec probabilité 1/37, G valant 1 avec probabilité 18/36 si succès du joueur au second tour. D'où l'espérance E par mise = ∑[G_i x p_i] - c = 36/37 + 1/74 - 1 = -1/74
Attention : Certains articles aboutissent au résultat erroné E = -1/73. L'erreur vient de l'exclusion arbitraire d'un cas sur 74, celui du cas zéro + succès (probabilité (1/37)(18/36) avec G = 1), résultant d'une confusion entre "gain net = 0" (qui est correct) et "paiement réel G = 1" (qui est exclu à tort comme "ne comptant pas" [DEL2]). D'où le calcul biaisé : E = 72/73 + 0 - 1 = -1/73 au lieu du calcul correct : E = 72/74 + 1/74 - 1 = -1/74
Calcul général pour m cas zéro successifs ( m ≥ 1) :
   On note : a = 1/37
   1. Cas non-zéro (au premier tour) : le casino verse au joueur (mise comprise) G = 2 avec probabilité 18/37, soit une contribution : 36 a
   2. Cas zéros successifs : Si le zéro sort k fois de suite (avec k < m), alors le casino verse G avec probabilité a^k, G valant 1 avec probabilité 18 a si succès du joueur au tour suivant, soit une contribution : a^k 18 a = 18 a^{k + 1}, pour k = 1, 2,..., m - 1
   3. Cas du dernier zéro sans suite : Au m ième zéro, le casino verse G avec probabilité a^m, G valant 1 avec probabilité 18/36 = 1/2 si succès conditionnel du joueur au tour suivant (zéro exclu), soit une contribution : (1/2) a^m
   L'espérance E pour une mise de 1 (coût c = 1) est donc la suivante :
   E = 36 a + 18 a² + 18 a³ + ... + 18 a^m + (1/2) a^m - c
   En posant : A = 1 + a + ... + a^{m - 2} = (1 - a^{m - 1})/(1 - a) = (1 - a^{m - 1})/(36 a), E s'écrit alors :
   E = 36 a + B - 1
   avec : B = 18 a² A + (1/2) a^m = 18 a² (1 - a^{m - 1})/(36 a) + (1/2) a^m = a/2
   On obtient finalement : E = 36 a + a/2 - 1 = 73 a/2 - 1 = -1/74
   Conclusion : Quel que soit le nombre m de zéros successifs envisagés dans le mode En prison, l'espérance mathématique d'une mise unitaire reste exactement égale à E = -1/74, sans aucune approximation.

Dans ces deux règles particulières, les Chances simples ne sont pas perdues intégralement ou fatalement. Le joueur est ainsi avantagé car l'espérance passe de -2,7 % à -1,35 % avec la règle La partage ou En prison.


Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante à la roulette. Mais il existe une stratégie optimale visant à limiter les pertes et gérer le risque, basée sur les règles suivantes [PER][CHA] :
1. Limiter le nombre de coups : La roulette étant un jeu de hasard avec espérance négative, plus on joue longtemps, plus la perte moyenne converge vers l'espérance théorique (-2,7 % en roulette européenne et française). Jouer moins de coups réduit la probabilité d'atteindre des pertes importantes.
2. Privilégier les Chances simples (Rouge/Noir, Pair/Impair, Manque/Passe) : Toutes les mises ont la même espérance négative de gain par coup (-2,7 %), mais les Chances simples offrent des gains moins spectaculaires mais plus fréquents, évitant les pertes brutales. Par ailleurs, à la roulette française, cette espérance négative est réduite à -1,35 % par mise avec la règle La Partage ou En Prison.
3. Jouer les numéros dits "fréquents" est une illusion, non pas en raison de la disposition des numéros sur le tapis, mais parce qu'un défaut mécanique sur une case précise de la roue est extrêmement improbable pour deux raisons principales :
- Une roulette usée ou défectueuse favorise une zone géographique de la roue (secteur contigu), non une case isolée.
- Les casinos contrôlent, ajustent et remplacent les roues dès qu'une anomalie statistique apparaît.
4. Une stratégie rationnelle à la roulette consiste à fixer un capital initial et un seuil d'arrêt, par exemple -30 %, le joueur assumant psychologiquement une éventuelle perte totale de ses gains. Elle ne modifie pas l'espérance négative du jeu, mais permet de jouer sereinement et longtemps, tout en limitant les pertes avant qu'elles ne s'aggravent.

B7.6.3. La boule [PER][CHA] :

La Boule est une variante simplifiée de la roulette, utilisant uniquement les chiffres de 1 à 9.
Elle se joue généralement de 1 à 8 joueurs, selon la taille du tapis de jeu.

Matériel :
1. Un roue de jeu : cylindre circulaire compartimenté en cases numérotées de 1 à 9 et colorées, montée sur un axe permettant une rotation libre.
2. Une boule : petite sphère destinée à circuler dans la roue et à se fixer dans l'une des cases lors de l'arrêt de la roue. La boule est une bille un peu plus grosse que celle de la roulette afin de s'adapter aux cases plus grandes.
3. Un tapis (ou table) de jeu : surface plane portant les numéros et les types de mises possibles, sur laquelle les joueurs placent leurs mises.
4. Les jetons : unités utilisées par les joueurs pour matérialiser leurs mises.

Disposition des numéros sur la roue :
En casino, la Boule se joue principalement sur une roue à 18 cases (avec deux séries successives de 1 à 9).
Les autres versions (comme 27 cases) existent mais sont rares et hors du cadre standard.
L'ordre exact des numéros sur la roue, en commençant par le 1 et en allant dans le sens des aiguilles d'une montre, suit un ordre linéaire 1-2-3-4-5-6-7-8-9 (première séquence) suivi d'une seconde séquence identique (voir Figure ci-dessus [BON]) :
Le numéro 1 est noir. Les numéros rouge et noir alternent ensuite sur la roue, en sautant le numéro 5 qui est vert.

Déroulement d'un tour :
Le déroulement d'un tour est identique à celui de la roulette.

Le croupier :
Le rôle du croupier au jeu de Boule en version "roue tournante" est identique à celui de la roulette en remplaçant le mot "bille" par "boule".

Types de mise :
On peut classer les mises en deux grandes catégories selon l'emplacement de la mise sur le tapis (voir Figure ci-dessus) :
- Mises internes : mises placées directement sur un ou plusieurs numéros de la grille, couvrant des numéros précis (Plein).
- Mises externes : mises placées à l'extérieur de la grille, portant sur des caractéristiques ou groupes de numéros (couleur, parité, Manque/Passe).

Le tableau suivant couvre tous les types de mise classiques :

A noter dans ce tableau :
1. Le gain (G) est le gain total en jetons (mise comprise), versé par le casino pour 1 jeton misé (coût c = 1), lorsque la mise est gagnante. Par exemple, si le joueur mise 1 jeton sur un numéro Plein gagnant, il récupère 7 + 1 soit 8 jetons.
2. La probabilité (p) est la probabilité physique qu'un tour de jeu aboutisse à un gain total G pour un jeton misé.
3. L'espérance mathématique (E) est la différence entre le gain espéré (G x p) et le coût c, soit : E = (G x p) - c.
   On trouve donc : E = -1/9 = -0,111, soit une perte moyenne de 11,1 % par mise, quelle que soit le type de mise (interne ou externe).
4. Bien que l'espérance soit identique pour toutes les mises, distinguer Chances simples et Chances multiples est important pour le joueur car :
   - Les Chances simples sont des mises à gain faible et forte probabilité, donc offrant des gains moins spectaculaires mais plus fréquents, idéales pour un joueur prudent.
   - Les Chances multiples sont des mises à gain élevé et faible probabilité, donc offrant des gains plus volatils, adaptées à un joueur audacieux.

Le numéro vert :
Lorsque la bille tombe sur le numéro vert (5), seule la mise Plein 5 est gagnante et toutes les autres mises (Plein 1-4 et 6-9, et Chances simples) sont perdantes.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante à la Boule. Mais il existe une stratégie optimale visant à limiter les pertes et gérer le risque.
Cette stratégie est identique à celle de la roulette mais avec une espérance négative nettement plus élevée (environ -11 % contre -2,7 %).
En contrepartie, la Boule est un jeu plus simple, offrant des parties rapides et intuitives.

B7.6.4. Les machines à sous [PER][CHA] :

Les machines à sous sont des jeux de hasard individuels, admettant une dimension stratégique très limitée.
On distingue principalement trois catégories de machines :
- les machines mécaniques classiques à trois rouleaux.
- les machines vidéo modernes avec écran numérique et rouleaux virtuels, souvent au nombre de cinq.
- les machines progressives, dont une partie des mises alimente un pot collectif partagé entre plusieurs machines connectées.
Sont décrites ci-dessous les règles de jeu de la machine classique à trois rouleaux.

Matériel (voir Figure ci-dessus):
1. Une machine constituée de trois rouleaux mécaniques disposé l'un contre l'autre. Chaque rouleau porte un nombre déterminé de symboles distincts répartis sur sa circonférence. Une "ligne de paiement" horizontale traverse les rouleaux. Les symboles qui s'y alignent à l'arrêt déterminent si la combinaison est gagnante et le montant du gain associé.
2. Les jetons (ou pièces) : unités utilisées par les joueurs pour participer au jeu.
3. Le levier ou bouton de mise en jeu : mécanisme actionné par le joueur pour déclencher la rotation simultanée des trois rouleaux.

Disposition des symboles sur le rouleau :
Chaque rouleau est un cylindre comportant un nombre déterminé de positions successives (généralement 64), chacune marquée d'un symbole standard.
Les symboles les plus courants sont les suivants :
- Cerise : symbole fréquent, gain modeste.
- Bar (BAR) : symbole moins fréquent, gains plus élevés.
- Etoile ou Cloche : symboles rares, gains substantiels.
- Chiffre 7 : symbole très rare, souvent associé au gain maximal (jackpot).
- Symbole sans valeur de gain (généralement : blanc).
La fréquence d'apparition de chaque symbole, ainsi que la table de paiements associée aux différentes combinaisons gagnantes, sont définies par le fabricant de la machine, de manière à assurer un avantage mathématique pour la maison (casino), généralement compris entre 5 % et 10 % des mises engagées.

Déroulement d'un coup de jeu :
- Mise : Le joueur insère 1, 2 ou 3 jetons. 3 jetons sont requis pour accéder au jackpot.
- Lancement : Le joueur actionne le levier ou le bouton, faisant tourner simultanément les trois rouleaux.
- Arrêt : Les rouleaux s'arrêtent successivement. Les gains sont attribués uniquement lorsque les trois symboles alignés sur la ligne de paiement centrale sont rigoureusement identiques. Sinon, le coup est perdu.
- Fin : La mise engagée par le joueur est définitivement consommée. Lorsque la combinaison obtenue est gagnante, la machine délivre un nombre de jetons correspondant au gain prévu par la table de paiements.

Conditions de gain :
- Le montant du gain dépend de la combinaison obtenue et du nombre de jetons misés (1, 2 ou 3), selon la table de paiements.
- La table de paiements indique les gains en jetons, versés par la machine pour 1 jeton misé et consommé.
- Sur une machine classique à trois rouleaux, chaque rouleau comportant 64 symboles, les montants des gains par combinaison sont donnés par le tableau suivant :

A noter dans ce tableau :
1. Le gain (G) est le gain en jetons, versé par la machine pour 1 jeton misé et consommé (coût c = 1), selon le tableau des paiements. Les valeurs de G indiquées dans le tableau sont un exemple illustratif mais plausible pour une machine classique.
2. La probabilité (p) est la probabilité qu'une combinaison donnée aboutisse au gain G.
   Pour exemple, le calcul de p pour la combinaison "Une cerise" est le suivant :
   3 = trois positions possibles pour la cerise sur la ligne de paiement (gauche, centre ou droite).
   (c/64) = probabilité d'avoir 1 cerise sur la position donnée.
   ((64 - c)/64)² = probabilité que les 2 autres symboles soient n'importe quoi sauf cerise.
3. L'espérance mathématique (E) d'un coup est la différence entre le gain espéré ∑_i [G_i x p_i] et le coût c, soit : E_coup = -0,055
En moyenne, sur chaque coup de jeu, le joueur perd donc environ 5,5 % de sa mise initiale.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante sur une machine à sous, car chaque coup est indépendant et régi par le hasard.
Mais il existe une stratégie optimale visant à limiter les pertes et gérer le risque.
Cette stratégie est identique à celle de la roulette mais avec une espérance négative nettement plus élevée (environ -5,5 % contre -2,7 %).

B7.7. Jeux sportifs :

Voici quelques jeux sportifs avec ou sans pari associé.

1. Le PMU français
2. Le football
3. Le rugby à XV

B7.7.1. Le PMU français [PER][CHA] :

Le PMU français (Pari Mutuel Urbain) est un jeu de pari hippique, opposant plusieurs joueurs indépendants misant sur un même événement.
Ce jeu n'admet qu'une dimension stratégique limitée, le comportement des chevaux demeurant prépondérants.

Matériel :
1. Liste officielle des partants, publiée avant chaque course, permettant au joueur de connaître les numéros, noms, jockeys (ou drivers) et cotes indicatives des chevaux engagés.
2. Grille de jeu mentionnant dans l'ordre standardisé (voir Figure ci-dessus) :
- l'identification de la course dans l'en-tête de la grille : numéro de réunion (correspondant à l'hippodrome avec date/heure) et numéro de la course
- le type de pari, sélectionné au moyen de boutons ou de cases
- le mode ordre/désordre, à cocher dans des cases spécifiques
- les numéros des chevaux choisis par grille principale : cases numérotées 1 à 18
- la mise engagée : montant unitaire (1.50, 2, 3 euros, etc.) ou multiples
Exemple de grille Quinté+ ordre : [Réunion 1 - R5 Vincennes], [Quinté+], [Ordre], [Numéros cochés : 2-8-11-14-6], [Mise : 2 euros].
3. Type de support de jeu : soit bulletin papier (rempli manuellement et validé à un guichet de point de vente agrée), soit enregistrement numérique réalisé via un terminal électronique en point de vente (exemple : bureaux de tabac partenaires), soit application mobile ou site officiel du PMU (pmu.fr)

Déroulement d'une course :
- Début : La course débute par la présentation des chevaux au public et au rond de présentation (environ 30 minutes avant le départ). Les prises de paris demeurent ouvertes jusqu'à leur fermeture officielle, généralement 2 à 5 minutes avant le départ effectif.
- Course : L'épreuve, d'une durée moyenne comprise entre 1 et 5 minutes (courses de plat, de trot ou d'obstacles), se déroule sous le contrôle des officiels et des commissaires chargés de veiller au respect du code des courses. A l'arrivée, un classement provisoire est établi. En cas d'arrivée serrée, le recours à la photo-finish permet de déterminer l'ordre d'arrivée.
- Résultats définitifs : Les résultats deviennent définitifs après validation par les commissaires, en principe dans un délai de 10 à 20 minutes suivant l'arrivée, sauf réclamation ou enquête. Cette validation entraîne la publication officielle des rapports et déclenche le règlement des gains aux parieurs gagnants.

Conditions de gain :
Le montant de gains est proportionnel à la mise engagée et inversement proportionnel au montant total des mises gagnantes enregistrées sur le même pari.
Pour chaque type de pari et pour chaque course, les mises des parieurs constituent une masse commune (appelée "pool"). Après application des prélèvements réglementaires (généralement 20 %), le solde est réparti entre les seuls parieurs gagnants, au prorata de leur mise.
Exemple :
- Pool total de 100 euros.
- Somme des mises à répartir R = 80 euros (après application d'un prélèvement de 20 %).
- S'il y a 2 seuls gagnants ayant misé respectivement 1 euro et 3 euros, alors le rapport r (ou "cote") est le rapport entre la somme R des mises à répartir et la somme des mises gagnantes soit r = 80/(1 + 3) = 20
- Chaque gagnant reçoit alors un montant égal à mise x rapport, soit 20 euros pour le premier joueur et 60 euros pour le second.
- Le gain réel de chaque joueur, après déduction de la mise initialement engagée, est donc respectivement de 19 euros et 57 euros.
Le tableau suivant donne les principaux types de pari proposés par le PMU, avec leur probabilité théorique de gain (calculée sur une course à n = 15 chevaux partants).

A noter dans ce tableau :
1. Le rapport (r) est le rapport final (euros gagnés par euro misé), publié après course.
2. La probabilité (p) est la probabilité purement combinatoire de victoire du pari, en supposant chaque cheval équiprobable.
   Coefficient binomial C(a, b) = a! / (b! (a - b)!)
3. Le Bonus B est la probabilité additionnelle du pari en cas de report du pool quand aucun joueur ne gagne le pari (redistribution des mises vers les positions étendues de la même course (4 premiers, 5 premiers, etc., en Tiercé par exemple).
4. L'espérance mathématique (E) d'un pari de mise unitaire (coût c = 1) est la différence entre le gain espéré (c x r) x p et le coût c
Exemple : Pour une mise c = 1 euro sur le Simple gagnant de rapport moyen historique r = 10, et avec n = 15 chevaux partants, E = (1 x 10) x 1/15 - 1 = -0.33 euro, soit une perte moyenne de 33 % par euro misé.
L'espérance mathématique E montre une perte moyenne de 30 à 60 %, tous paris confondus, mais peut approcher zéro de façon exceptionnelle, notamment sur Tiercé, Quarté+ ou Quinté+ lors de reports importants.

Stratégie gagnante :
Il n'y a pas de stratégie gagnante au jeu du PMU français, mais il existe une stratégie rationnelle visant à réduire la perte.
L'espérance E est positive si et seulement si le rapport r est supérieur à la valeur 1/p. En conséquence, la stratégie rationnelle est la suivante [PER][CHA] :
- Considérer les paris dont le rapport estimé avant course (r) est très proche du seuil critique 1/p du tableau précédent.
- Identifier les favoris sous-joués (cheval ayant une grande probabilité réelle de gagner, mais peu joué, donc avec rapport r élevé).
- Eviter les paris sur des pools fortement sursouscrits (trop de parieurs sur un cheval).
- Diversifier les mises sur plusieurs types de paris.
- Ne pas considérer les paris Tiercé, Quarté+ et Quinté+ comme intrinsèquement préférables en raison d'un bonus éventuel, car les situations de bonus restent statistiquement exceptionnelles.
- Pour les paris simples (un seul cheval), éviter les extrêmes du marché (favori surjoué et outsider spéculatif) et privilégier les chevaux intermédiaires (2e ou 3e favori).
- Pour les paris composés (plusieurs chevaux), construire des combinaisons équilibrées, souvent autour d'un favori solide, en y ajoutant des chevaux intermédiaires susceptibles d'être sous-joués.

B7.7.2. Le football [PER][CHA] :

Le football est un sport collectif opposant deux équipes de onze joueurs qui s'affrontent sur un terrain, afin de marquer des buts en propulsant un ballon sphérique, principalement avec les pieds.
Ce jeu offre une dimension stratégique importante où la tactique collective et les qualités individuelles jouent un rôle essentiel.

Matériel :
- Terrain (voir Figure ci-dessus) : Zone rectangulaire (longueur 90-120 m x largeur 45-90 m) avec drapeaux de coin (1,5 m de hauteur minimale), deux buts avec filets (largeur 7,32 m x hauteur 2,44 m), surface de réparation devant chaque but (profondeur 16,5 m x largeur 40,32 m), lignes de but, lignes de touche, ligne médiane.
- Ballon : Sphérique, circonférence 68-70 cm, poids 410-450 g, pression 0,6-1,1 atm.
- Joueurs : 11 par équipe (10 joueurs de champ + 1 gardien de but), avec mixité autorisée dans les catégories non-spécifiques.
- Equipement : Maillot numéroté, short, chaussettes, protège-tibias obligatoires, chaussures à crampons, tenue distincte pour le gardien, port de bijoux interdit.

Finalité du jeu :
- Objectif : Marquer plus de buts que l'équipe adverse en propulsant le ballon dans le but opposé, principalement avec les pieds (tête et torse autorisés).
- Durée : 90 minutes (2 x 45 min. avec mi-temps de 15 min.), prolongations en cas d'égalité (2 x 15 min. en phase à élimination directe) et tirs au but si nécessaire.
- Tirs au but : Si l'égalité persiste après prolongations, séance de 5 penalties alternés. Si l'égalité demeure, la séance se poursuit tir par tir en mort subite.
- Mort subite : Dès qu'une équipe mène et l'autre rate son tir correspondant.

Mise en jeu :
Coup d'envoi : Ballon immobile au centre du terrain, lancé au pied, soit au début du match par l'équipe locale (ou tirée au sort), soit par l'équipe qui n'a pas marqué le dernier but.
Autres remises en jeu :
- Touche : Ballon sorti par la ligne latérale et relancé à deux mains depuis le point de sortie par un joueur adverse.
- Dégagement gardien : Ballon sorti par la ligne de but, touché en dernier par un coéquipier, et relancé par le gardien depuis la surface de réparation.
- Corner : Ballon sorti par la ligne de but, touché en dernier par un adversaire, et relancé au pied depuis le coin le plus proche.
- Coup franc direct ou indirect.

Fautes de jeu :
Coup franc direct (ou penalty si faute commise dans sa propre surface de réparation) :
- Charge violente : Contact physique excessif avec un adversaire.
- Tacle dangereux : Utilisation excessive des pieds ou des jambes.
- Cracher : Projection de salive sur toute personne.
- Main volontaire : Toucher intentionnel du ballon avec la main ou le bras (sauf gardien dans sa surface de réparation).
- Tenir ou pousser un adversaire : Action des mains ou du corps.
- Geste violent sur un adversaire, même sans contact.
Coup franc indirect :
- Hors-jeu : Joueur situé dans la moitié de terrain adverse, plus près de la ligne de but que le ballon ET que l'avant-dernier adversaire, au moment où un coéquipier joue le ballon vers lui (passe, centre, etc.). Il n'y a pas de hors-jeu si le joueur est dans sa moitié de terrain, ou conduit lui-même le ballon (dribble, contrôle direct), ou si le ballon vient d'une touche, corner ou coup de pied de but.
- Jeu dangereux sans contact : Action à risque sans toucher l'adversaire (exemple : pied levé à hauteur du visage).
- Obstruction sans contact : Blocage de l'adversaire sans jouer le ballon.
- Simulation : Plongeon exagéré pour tromper l'arbitre.
- Passe au gardien : Sur une passe volontaire du pied d'un coéquipier, le gardien peut jouer le ballon, mais pas avec les mains.
- Double contact du gardien : Si le gardien relâche le ballon de ses mains, il ne peut pas le reprendre à la main tant qu'un autre joueur ne l'a pas touché.
- Les 6 secondes du gardien : Gardien tenant le ballon plus de 6 secondes.
- Comportement antisportif avec le gardien : Utilisation du gardien de façon répétée ou inutile pour faire circuler le ballon et gagner du temps.
Sanctions :
- Carton jaune : Avertissement (2 jaunes = rouge).
- Carton rouge : Expulsion immédiate (faute grave, comportement violent ou accumulation de deux cartons jaunes).
- Penalty : Tir au but unique depuis le point de penalty (11 m), avec uniquement le gardien pour adversaire.

Stratégie gagnante :
Les règles principales visant à dominer l'adversaire sont les suivantes :
Stratégies défensives :
- Pressing collectif : Dès la perte du ballon, l'équipe se replace rapidement pour mettre la pression et ralentir la progression adverse.
- Marquage zonal : Chaque joueur couvre une zone spécifique plutôt qu'un adversaire individuel, réduisant les risques de simulation ou d'obstruction.
- Ligne de défense haute : La défense se place avancée pour piéger les attaquants en position de hors-jeu.
Stratégies offensives :
- Transitions rapides : Dès récupération du ballon, lancer immédiatement une contre-attaque pour exploiter les espaces laissés par l'adversaire.
- Combinaisons courtes : Utiliser des passes précises et courtes pour déstabiliser la défense adverse et créer des brèches exploitables.
- Jeu sur les ailes : Développer le jeu sur les côtés avec des débordements et des centres pour provoquer des corners ou penalties.
Gestion du match :
- Maîtrise de la possession : Garder le ballon le plus longtemps possible avec des relances précises.
- Gestion des temps forts : Profiter des périodes de domination pour marquer, en anticipant prolongations et tirs au but si nécessaire.
- Exploitation des fautes : Provoquer des fautes directes adverses pour obtenir cartons jaunes et coups francs stratégiques.

B7.7.3. Le rugby à XV [PER][CHA] :

Le rugby à XV est un sport collectif opposant deux équipes de quinze joueurs qui s'affrontent sur un terrain, afin de marquer des points, notamment en inscrivant un essai en aplatissant le ballon ovale dans l'en-but adverse, principalement avec les mains.
Ce jeu offre une dimension stratégique importante où la tactique collective et les qualités individuelles jouent un rôle essentiel.

Matériel :
- Terrain (voir Figure ci-dessus) : Zone rectangulaire (largeur 68-70 m x longueur 94-100 m entre lignes de but), deux poteaux en forme de H (écartement 5,6 m, barre transversale de hauteur 3 m) sur chaque ligne de but, un en-but derrière chaque ligne de but (largeur 68-70 m x profondeur 10-22 m), lignes de but, lignes de touche, lignes de ballon mort, lignes des 22 m, ligne médiane.
- Ballon : Ovale, longueur 28-30 cm, circonférence (grand tour) 74-77 cm, poids 400-440 g, pression 0,66-0,75 atm.
- Joueurs : 15 par équipe (8 avants + 7 arrières), avec remplaçants (jusqu'à 8 en compétition officielle).
- Equipement : Maillot numéroté, short, chaussettes, chaussures à crampons, protège-dents obligatoire, protections souples autorisées (casque, épaulières, etc.), tenue distincte pour chaque équipe.

Finalité du jeu :
- Objectif : Marquer plus de points que l'équipe adverse en aplatissant le ballon dans l'en-but adverse (essai) ou en passant le ballon entre les poteaux (transformation après essai, pénalité, drop goal), principalement avec les mains.
- Durée : 80 minutes (2 x 40 min. avec mi-temps de 10-15 min.), prolongations en cas d'égalité (2 x 10 min. en phase à élimination directe) et mort subite si nécessaire.
- Mort subite : Le premier point marquant décide du vainqueur.

Mise en jeu :
Coup d'envoi : Ballon au centre du terrain, coup de pied tombé (drop consistant à lâcher le ballon des mains et à frapper du pied après rebond), soit au début du match par l'équipe tirée au sort, soit par l'équipe qui n'a pas marqué le dernier score (essai, transformation, pénalité ou drop goal).
Autres remises en jeu :
- Touche (line-out) : Ballon sorti par la ligne latérale et relancé à deux mains au-dessus de la tête depuis le point de sortie par un joueur de l'équipe adverse.
- Mêlée (scrum) : Après certaines fautes mineures, 8 joueurs de chaque équipe se lient pour disputer le ballon introduit dans le tunnel par le demi de mêlée.
- Pénalité : Après une faute adverse, l'équipe bénéficiaire peut choisir : tenter le but, jouer en touche, jouer rapidement à la main ou demander une mêlée.
- Renvoi aux 22 : Lorsque le ballon est rendu mort ou aplati dans l'en-but de l'équipe défendante (celle qui n'a pas la ballon) sans qu'un essai soit accordé, cette équipe effectue un renvoi au pied depuis sa propre ligne des 22 mètres.
- Ruck : Après un plaquage avec ballon au sol, les joueurs des deux équipes se lient debout au-dessus du ballon pour le disputer avec les pieds.
- Maul : Le porteur du ballon est tenu debout par un adversaire, poussé par les coéquipiers pour avancer.

Tableau des points :
Essai (ballon aplati au sol dans l'en-but adverse) : 5 pts
Transformation après essai (coup de pied placé ou drop, avec ballon passant entre les poteaux) : 2 pts
Pénalité (coup de pied placé avec ballon passant entre les poteaux) : 3 pts
Drop goal (drop avec ballon passant entre les poteaux) : 3 pts
Essai de pénalité : 7 pts (5 + transformation accordée d'office)

Fautes de jeu :
Pénalité :
- Placage dangereux : Placage au-dessus des épaules.
- Plaquage irrégulier : Plaquage sans ceinturage (exemple : par-derrière).
- Obstruction : Bloquer l'adversaire sans jouer le ballon.
- Hors-jeu : Joueur devant son coéquipier porteur du ballon ou en position interdite.
- Main dans le ruck : Toucher le ballon à la main dans un ruck formé.
- Tenue adverse : Agripper un adversaire sans tentative de jouer le ballon.
Essai de pénalité :
- Coups violents : Coup de poing, coup de pied volontaire.
- Conduite dangereuse : Epaule au visage, plaquage tête en avant.
Coup franc :
- Hors-jeu mineur : Position irrégulière en phase statique (mêlée, touche, jeu au large).
- Introduction irrégulière en mêlée.
- Touche irrégulière (exemple : lancer non droit).
Sanctions :
- Carton jaune : Exclusion temporaire d'un joueur (10 minutes). L'équipe joue à 14 joueurs le temps de la sanction.
- Carton rouge : Expulsion définitive d'un joueur pour le reste du match (faute grave, violence ou deux cartons jaunes) et sans remplacement possible.
- Pénalité

Stratégie gagnante :
Les règles principales visant à dominer l'adversaire sont les suivantes :
Stratégies défensives :
- Pressing collectif : Dès la perte du ballon, l'équipe se replace rapidement pour mettre la pression et ralentir la progression adverse.
- Défense alignée : Ligne défensive organisée et resserrée pour fermer les espaces centraux et orienter l'attaque vers les extérieurs.
- Contestation des rucks : Pression légale sur les phases de ruck pour tenter de récupérer le ballon ou ralentir la sortie.
Stratégies offensives :
- Jeu pénétrant : Courses droites des avants pour fixer la défense et créer des brèches.
- Jeu au large : Utilisation des passes pour déborder la défense et exploiter les espaces sur les ailes.
- Maul roulant : Avants liés poussant le porteur pour gagner des mètres par phases successives.
Gestion du match :
- Maîtrise des mêlées : Utiliser les mêlées pour sécuriser la possession et structurer les attaques.
- Gestion des temps forts : Transformer les périodes de domination en points.
- Exploitation des pénalités : Choisir la meilleure option selon la position sur le terrain.

B7.8. Sources relatives aux Jeux de stratégie

[BLE] Bleach-Mx, Comment fonctionne la roulette française ?.
[BON] Bonus Roulette, COMMENT JOUER AU JEU DE LA BOULE AU CASINO ?.
[CHA] ChatGPT, le moteur d'Intelligence Artificielle développé par OpenAI.
[CUR] Courses de vecteurs, Course de vecteurs.
[DEL1] Jean-Paul Delahaye, Stratégies magiques au pays de Nim, Pour la Science - n 377 - Mars 2009.
[DEL2] Jean-Paul Delahaye, Les martingales et autres illusions, Pour la Science - n 251 - Septembre 1998.
[GUI1] Guide Roulette, Roulette Européenne.
[GUI2] Guide Roulette, Roulette Américaine.
[JEU] Jeux Solo ici et là, ACCORDEON #31 (Youtube, 11:54).
[PER] Perplexity, le moteur d'Intelligence Artificielle développé par Perplexity AI.
[ROU1] Roulette 17, Tiers Du Cylindre.
[ROU2] Roulette 17, Voisins Du Zero.
[ROU3] Roulette 17, Orphelins.
[ROU4] Roulette 17, Jeu Zero.
[TOU] Pierre Tougne, Roulette, Loto et probabilités, La mathématique des jeux, pp.147-156, Pour la Science, 1991.
[TRI1] Jean Tricot, Jeux et informatique - Le jeu des pièces de 10 francs, Science et Vie - n 722 - Novembre 1977.
[TRI2] Jean Tricot, Jeux et informatique - Le jeu de Northcott, Science et Vie - n 724 - Janvier 1978.
[WIK1] Wikipedia, Bataille (jeu).
[WIK2] Wikipedia, Bataille navale(jeu).
[WIK3] Wikipedia, Racetrack (game).
[WIK4] Wikipedia, Crapette.
[WIK5] Wikipedia, Yahtzee.
[WIK6] Wikipedia, Pig (dice game).
[WIK7] Wikipedia, Morpion (jeu).
[WIK8] Wikipedia, Tic-tac-toe.
[WIK9] Wikipedia, Poker.
[WIK10] Wikipedia, Roulette (jeu de hasard).

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