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Deux équations générales permettent de calculer la vitesse (v) d'un fluide dans une canalisation, en fonction du temps (t) et de l'abscisse curviligne (x) de cette canalisation : l'équation de continuité et l'équation du mouvement.
Nous appliquerons ensuite ces équations à trois cas pratiques : colonne motrice constante, colonne résistante constante et cheminée d'équilibre.
Remarques :
- Dans ce chapitre, nous nous référons aux Figures de ce chapitre, Notations.
- Les auteurs cités sont mentionnés entre crochets sous la forme [AUTEUR Titre Page]. Voir Bibliographie.
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Les trois figures ci-dessus montrent chacune un cas pratique de mise en eau d'un système hydraulique.
La Figure A1 (colonne motrice constante) montre le cas d'un réservoir d'eau se vidant à l'air libre par une canalisation, depuis une hauteur h constante.
La Figure A2 (colonne résistante constante) montre le cas d'un réservoir d'eau communiquant à travers un clapet anti-retour avec un réservoir aval de hauteur H constante.
La Figure A3 (cheminée d'équilibre) montre le cas d'un réservoir d'eau alimentant une turbine avale, elle-même protégée juste avant par une cheminée d'équilibre de hauteur H fonction du temps t.
Toute canalisation (section droite S) conduisant un fluide continu (sans trous d'air, masse volumique r, pression p) peut être assimilée à un filet de courant en écoulement unidimensionnel d'abscisse curviligne (x).
L'équation de continuité traduit le principe de conservation de la masse du fluide. L'augmentation de masse (dm), pendant un certain temps (dt), du fluide contenu dans un volume fixe (S dx) est égale à la masse du fluide qui y entre, diminuée de la masse qui en sort.
Le premier membre de cette équation (augmentation de masse) s'écrit donc :
(dm/dt) dt = (d(r S dx)/dt) dt = (d(r S)/dt) dx dt
Et le second membre (différence de masses) s'écrit :
r S v dt - [ r S v dt + (d(r S v dt)/dx) dx ] = -(d(r S v)/dx) dt dx
D'où l'équation de continuité [COM 207][SOU 27][OUZ 47][FRE 3] :
|
(A1) d(r S)/dt + d(r S v)/dx = 0 |
Cette équation signifie qu'une variation dans le temps de la masse linéique du fluide (r S) correspond à une variation égale et opposée, dans l'espace, du débit massique (r S v).
Remarque 1 : l'équation (A1) est valable, que le fluide soit :
- parfait (forces de viscosité nulles [OUZ 5]) ou non (fluide visqueux) ;
- incompressible (r indépendant de x et de t [OUZ 49]) ou non ;
- en mouvement permanent (r, p et v indépendants de t [OUZ 41]) ou non (instationnaire).
Remarque 2 : l'équation (A1) se ramène à la conservation du débit massique (qm = r S v) en tout point (x) de la canalisation [OUZ 49] pour, notamment, les deux cas particuliers suivants :
- cas d'un coup de bélier dit "de masse" (S et r indépendants de t) ;
- cas d'une canalisation indéformable (S indépendant de t) conduisant un fluide en mouvement permanent.
En développant l'équation (A1), on trouve l'équation équivalente :
(A2) r dS/dt + S dr/dt + r S dv/dx + r v dS/dx + S v dr/dx = 0
L'équation générale du mouvement de toute particule d'un fluide non visqueux, incompressible ou non, s'écrit vectoriellement [OUZ 90] :
Γ = F - (1/r) grad(p)
où :
Γ est le vecteur accélération
F est la résultante des forces actives appliquées à l'unité de masse
"grad()" est l'opérateur "gradient"
L'accélération Γ de cette particule est par ailleurs la dérivée particulaire du vecteur vitesse v par rapport au temps t, c'est-à-dire la dérivée prise en suivant le mouvement de la particule le long de sa trajectoire [OUZ 43]. Cette accélération s'écrit vectoriellement [OUZ 56] :
Γ = dv/dt + (1/2) grad(v2) + rot(v) x v
où :
"rot()" est l'opérateur "rotationnel"
"x" est l'opérateur "produit vectoriel"
En supposant que les forces de volume dérivent uniquement du champ de pesanteur terrestre (accélération g et altitude z), on a de plus l'équation :
F = - grad(ψ) = -grad(g z)
ψ est le potentiel gravitationnel issu de l'Equation de Poisson (voir chapitre Relativité - Lexique) tel que : ψ = -G M_Terre / (R_Terre + z) = -(G M_Terre / R_Terre) (1 + z/R_Terre)-1, et qui s'approxime en : ψ = -(G M_Terre / R_Terre) + g z dans le cas de faibles altitudes z par rapport au rayon de la Terre (z << R_Terre).
D'où l'expression générale du mouvement d'un fluide parfait dans le champ de pesanteur terrestre [OUZ 91][FRE 3] :
|
(A3) dv/dt + rot(v) x v + (1/r) grad(p) + grad(g z) + (1/2) grad(v2) = 0 |
Pour un liquide en mouvement non permanent, il est généralement admis que la masse volumique (r) est fonction du temps (t) mais pas des coordonnées spatiales [FRE 3].
Dans ce cas, en posant X la charge de l'écoulement telle que :
|
(A4) X = p + r g z + (1/2) r (v2) |
alors l'équation (A3) s'écrit :
(A3') dv/dt + rot(v) x v + (1/r) grad(X) = 0
avec :
(A6) dr/dx = 0
Remarque : la charge de l'écoulement (X) correspond à l'énergie du fluide par unité de volume et se décompose en trois termes :
- l'énergie potentielle de pression (p), ou pression statique, qui est la pression à l'intérieur du fluide ;
- l'énergie potentielle de situation (r g z), qui est liée à l'altitude (z) ;
- l'énergie cinétique ( (1/2) r (v2) ), ou pression dynamique, ou pression cinétique, qui est liée à la vitesse (v) du fluide.
En intégrant l'équation (A3') le long d'une ligne de courant, à un instant donné (dt = 0) où le fluide est supposé "figé" et le terme dv/dt connu en tout point, et en remarquant que dans ce cas le vecteur dx est perpendiculaire au vecteur (rot(v) x v), alors cette équation se simplifie en [OUZ 115] :
|
(A3'') r ∫[ (dv/dt) dx ] + X = Constante(x) |
Cette équation est l'équation de Bernoulli en régime non permanent.
Remarque 1 : l'équation (A3'') est valable, que le mouvement soit rotationnel (rot(v) non nul) ou irrotationnel (rot(v) nul).
Remarque 2 : en pratique, toute canalisation n'est pas rigoureusement assimilable à un filet de courant. Pour tenir compte de la répartition de la vitesse dans la section, le dernier terme de l'équation (A4) relatif à l'énergie cinétique est parfois corrigé d'un coefficient multiplicateur ALPHA supérieur à 1 [OUZ 100, 226].
En régime (mouvement) permanent, l'équation du mouvement entre deux points amont (A) et aval (B) s'écrit donc [OUZ 92] :
|
(A7) XA = XB |
En régime non permanent, on considère le cas où la vitesse (v) du fluide ne subit pas de modification trop rapide (coup de bélier dit "de masse"). Les variations de pression (p) du fluide sont alors lentes, ce qui autorise de considérer que la canalisation est indéformable et la masse volumique constante [FRE 3].
Cela s'écrit :
(A8) dS/dt = 0
(A9) dr/dt = 0
Par ailleurs, dans le cas particulier d'une canalisation de section (S) constante, on a :
(A10) dS/dx = 0
En remplaçant les égalités (A6),(A8),(A9) et (A10) dans l'équation de continuité (A2), il vient alors :
(A11) r S dv/dx = 0
La vitesse (v) qui était, a priori, fonction du temps (t) et de l'abscisse curviligne (x), ne dépend plus, sous les conditions précitées, que du temps (t). Il en est de même pour sa dérivée temporelle (dv / dt).
L'équation (A3'') devient alors [OUZ 116] :
(A12) r (dv/dt) x + X = Constante(x)
L'équation (A12) se généralise ensuite pour tenir compte de trois variations de charge supplémentaires :
* Perte de charge singulière (Xs) due aux incidents de parcours du fluide le long de la canalisation (évasement/rétrécissement brusque, coude, clapet, vanne, etc.) [OUZ 140] :
|
(A13) Xs = ∑i[ (1/2) f8 r (vi2) ] |
où f8 est le coefficient de perte de charge singulière en chaque point i de la canalisation.
* Perte de charge linéaire (Xl) due aux forces de viscosité (frottement) [OUZ 177] :
|
(A14) Xl = (1/2) u r (L/D) (v2) |
où u est le coefficient de perte de charge linéaire de la canalisation, L sa longueur et D son diamètre intérieur.
* Gain ou perte de charge nette (Xn) due aux machines génératrices (pompe) ou motrices (turbine) présentes dans la canalisation [OUZ 242] :
|
(A15) Xn = Pn / (S v) |
où Pn est la puissance nette de la machine fournie au fluide (Pn = Pa R pour une pompe) ou fournie par le fluide (Pn = Pa / R pour une turbine), Pa étant la puissance sur l'arbre et R le rendement global de la machine.
L'équation généralisée de Bernoulli, pour un liquide en mouvement (permanent ou non) entre deux points amont (B) et aval (C) d'une canalisation de section constante, s'écrit finalement [OUZ 179] :
|
(A16) XB + Xn (si pompe) = XC + Xs + Xl + Xn (si turbine) + r L (dv/dt) |
Remarque : dans le cas particulier où l'écoulement peut changer de sens dans la canalisation (exemple : oscillations libres), il convient, dans l'équation (A16), de signer correctement les pertes Xs et Xl en fonction du sens de la vitesse (v).
Les équations (A7) et (A16) constituent la clef pour résoudre l'essentiel des problèmes d'écoulement dans les réservoirs et leurs canalisations, comme nous allons le voir.
Trois cas pratiques de mise en eau d'un système hydraulique sont présentés ci-après : colonne motrice constante, colonne résistante constante, cheminée d'équilibre.
Prenons le cas d'un grand réservoir d'eau se vidant à l'air libre à travers une canalisation de section constante (voir Figure A1).
La masse d'eau du réservoir étant importante, son niveau ne varie quasiment pas (hypothèse de colonne motrice constante h).
Si A, B et C désignent les points du fluide situés respectivement au niveau d'eau du réservoir, au début et à la fin de la canalisation, et si v désigne la vitesse du fluide dans la canalisation, les équations s'écrivent :
Régime permanent entre A et B, d'où :
(A17) XA = XB
avec :
XA = pA + r g zA
XB = pB + r g zB + (1/2) r (v2)
Régime non permanent entre B et C, d'où :
(A18) XB = XC + r L (dv/dt)
avec :
(A18') XC = pC + r g zC + (1/2) j r (v2)
(A18'') j = 1 + fC + u L/D
On a par ailleurs :
(A19) pA = pC = patm
D'où l'équation générale du mouvement [LAN 34][OBR 11][BER 65] [REN 4][OUZ 116] :
(A20) h = zA - zC = (1/2) j (1/g)(v2) + L (1/g)(dv/dt)
Après résolution de cette équation différentielle (voir Théorie - Phase 6), la vitesse (v) est donc une fonction croissante du temps t :
(A21) v(t) = vm (ey - 1) / (ey + 1)
avec :
(A21') vm = (2 (1/j) g h)1/2
(A21'') y = j (vm / L) t + ln[ (1 + v(t = 0) / vm) / (1 - v(t = 0) / vm) ]
Pour un bélier hydraulique, ce résultat modélise bien la phase N°6 d'éjection de l'eau durant l'ouverture complète du clapet de choc (voir Théorie - Phase 6).
Reprenons le cas N°1 précédent, mais avec une canalisation qui communique à travers un clapet anti-retour avec un grand réservoir aval, et non à l'air libre (voir Figure A2).
On suppose que le niveau d'eau (zG) du réservoir aval est constant et supérieur au niveau d'eau (zA) du réservoir amont (hypothèse de colonne résistante constante H).
A l'instant t = 0, on suppose qu'une vanne ou un clapet situé en aval (point D) de la canalisation se ferme instantanément et que le clapet anti-retour s'ouvre également instantanément.
L'équation (A19) est alors à remplacer par :
(A19') pA = patm
(A19'') pC = patm + r g (zG - zC)
D'où l'équation générale du mouvement [BER 85] :
(A22) H = zG - zC = h - (1/2) j (1/g)(v2) - L (1/g)(dv/dt)
Après résolution de cette équation différentielle (voir Théorie - Phase 3), la vitesse (v) est donc une fonction décroissante de t :
(A23) v(t) = v'm ( (v(t = 0) / v'm) - tg[ (1/2) j (v'm / L) t ] ) / ( 1 + (v(t = 0) / v'm) tg[ (1/2) j (v'm / L) t ] )
avec :
v'm = ( 2 (1/j) g (H - h) )1/2
Pour un bélier hydraulique, ce résultat modélise bien la phase N°5 de mise en vitesse de l'eau sans éjection (voir Théorie - Phase 5).
Ce résultat pourrait modéliser également la phase N°3 de refoulement de l'eau dans la cloche à air. Néanmoins, pour être plus proche du phénomène réel (variation rapide de la vitesse et de la pression pendant cette phase), nous opterons pour le modèle du coup de bélier dit "d'ondes", avec comparaison toutefois avec le modèle ci-dessus du coup de bélier dit "de masse" (voir Théorie - Phase 3).
Reprenons le cas N°2 précédent, mais sans le clapet anti-retour et avec une cheminée d'eau de section droite S' en guise de réservoir aval (voir Figure A3). Ce dispositif anti-bélier est souvent utilisé dans les circuits de pompage industriel ou dans les centrales hydrauliques afin d'absorber les variations brutales de pression dues à la panne subite d'une pompe ou à l'arrêt d'urgence d'un turbo-alternateur situé en aval sur la canalisation [OUZ 136].
A l'instant t = 0, on suppose qu'une vanne située en D se ferme instantanément.
L'équation (A19'') est alors à remplacer par :
(A19''') pC = patm + r g (zG - zC) - (1/2) r (v2)
Par ailleurs, l'écoulement pouvant changer de sens dans la canalisation, il convient de remplacer l'équation (A18'') par :
(A18''') j* = 1 + (fC + u L/D) Signe[v]
D'où l'équation générale du mouvement [FRE 3] :
(A24) H(t) = zG(t) - zC = h - (1/2)(j* - 1)(1/g)(v2) - L (1/g)(dv/dt)
Par ailleurs, pour un coup de bélier dit "de masse", la conservation du débit massique dans l'ensemble canalisation-cheminée fournit l'équation supplémentaire suivante :
(A25) r S v = r S' dH/dt
Dans le cas simplifié où les pertes de charge sont négligeables (j* = 1) dans toute la canalisation, l'équation générale du mouvement s'écrit :
(A26) d2v / dt2 = -(g/L) (S/S') v
Et on trouve alors que la vitesse (v) dans la canalisation est une fonction sinusoidale de t et de période T :
(A27) v(t) = v(t = 0) cos[ A + t (2 π / T) ] / cos[ A ]
avec :
2 π / T = ( (g/L) (S/S') )1/2
sin(A) = Ks / K
cos(A) = Kc / K
Ks = H(t = 0) - h
Kc = v(t = 0) ( (L/g)(S/S') )1/2
K = ( (Ks2) + (Kc2) )1/2
Pour un bélier hydraulique, ce modèle de cheminée d'équilibre pourrait éventuellement modéliser la phase de refoulement de l'eau de la cloche dans la conduite de refoulement, sous réserve de rendre constante la hauteur H et variable la pression amont (pA), cette dernière diminuant rapidement pendant la détente de l'air dans la cloche. Cette adaptation est étudiée dans un chapitre ad hoc (voir Théorie - Phase 8).
Dernière mise à jour de la page : 3 mars 2024.