Bélier hydraulique

Annexe : Equations d'un fluide dans une canalisation ( Chapitre Précédent / Suivant )

Préambule ( Paragraphe Début / Suivant )

Deux équations générales permettent de calculer la vitesse (v) d'un fluide dans une canalisation, en fonction du temps (t) et de l'abscisse curviligne (x) de cette canalisation : l'équation de continuité et l'équation du mouvement.
Nous appliquerons ensuite ces équations à quatre cas pratiques : colonne motrice constante, colonne résistante constante, cheminée d'équilibre et pompe refoulante.

Remarques :
- Dans ce chapitre, nous nous référons aux Figures de ce chapitre, Notations.
- Les auteurs cités sont mentionnés entre crochets sous la forme [AUTEUR Titre Page]. Voir Bibliographie.

Sommaire de ce chapitre ( Paragraphe Précédent / Suivant )

0. Figures
1. Equation de continuité
2. Equation du mouvement
3. Equation du Bernoulli généralisée
4. Applications pratiques
   1. Colonne motrice constante
   2. Colonne résistante constante
   3. Cheminée d'équilibre
   4. Pompe refoulante

0. Figures ( Paragraphe Précédent / Suivant )

Avertissement : pour afficher la dernière mise à jour des figures suivantes, pensez à supprimer les "fichiers temporaires" de votre navigateur Internet avant d'accéder à cette page.

Les quatre Figures ci-dessus montrent chacune un cas pratique de mise en eau d'un système hydraulique.
La Figure A1 (colonne motrice constante) montre le cas d'un réservoir d'eau se vidant à l'air libre par une canalisation, depuis une hauteur h constante.
La Figure A2 (colonne résistante constante) montre le cas d'un réservoir d'eau communiquant à travers un clapet anti-retour avec un réservoir aval de hauteur H constante.
La Figure A3 (cheminée d'équilibre) montre le cas d'un réservoir d'eau alimentant une turbine avale, elle-même protégée juste avant par une cheminée d'équilibre de hauteur H fonction du temps t.
La Figure A4 (pompe refoulante) montre le cas d'une pompe qui remonte l'eau dans un réservoir supérieur.

1. Equation de continuité ( Paragraphe Précédent / Suivant )

Toute canalisation (section droite S) conduisant un fluide continu (sans trous d'air, masse volumique r, pression p) peut être assimilée à un filet de courant en écoulement unidimensionnel d'abscisse curviligne (x).
L'équation de continuité traduit le principe de conservation de la masse du fluide. L'augmentation de masse (dm), pendant un certain temps (dt), du fluide contenu dans un volume fixe (S dx) est égale à la masse du fluide qui y entre, diminuée de la masse qui en sort.
Le premier membre de cette équation (augmentation de masse) s'écrit donc :
    (dm/dt) dt = (d(r S dx)/dt) dt = (d(r S)/dt) dx dt
Et le second membre (différence de masses) s'écrit :
    r S v dt - [ r S v dt + (d(r S v dt)/dx) dx ] = -(d(r S v)/dx) dt dx
D'où l'équation de continuité [COM 207][SOU 27][OUZ 47][FRE 3] :

Cette équation signifie qu'une variation dans le temps de la masse linéique du fluide (r S) correspond à une variation égale et opposée, dans l'espace, du débit massique (r S v).

Remarque 1 : l'équation (A1) est valable, que le fluide soit :
- parfait (forces de viscosité nulles [OUZ 5]) ou non (fluide visqueux) ;
- incompressible (r indépendant de x et de t [OUZ 49]) ou non ;
- en mouvement permanent (r, p et v indépendants de t [OUZ 41]) ou non (instationnaire).

Remarque 2 : l'équation (A1) se ramène à la conservation du débit massique (qm = r S v) en tout point (x) de la canalisation [OUZ 49] pour, notamment, les deux cas particuliers suivants :
- cas d'un coup de bélier dit "de masse" (S et r indépendants de t) ;
- cas d'une canalisation indéformable (S indépendant de t) conduisant un fluide en mouvement permanent (r indépendant de t).

En développant l'équation (A1), on trouve l'équation équivalente :
(A2)    r dS/dt + S dr/dt + r S dv/dx + r v dS/dx + S v dr/dx = 0

2. Equation du mouvement ( Paragraphe Précédent / Suivant )

L'équation générale du mouvement de toute particule d'un fluide non visqueux, incompressible ou non, s'écrit vectoriellement [OUZ 90] :
    Γ = F - (1/r) grad(p)
où :
    Γ est le vecteur accélération
    F est la résultante des forces actives appliquées à l'unité de masse
    "grad()" est l'opérateur "gradient"
L'accélération Γ de cette particule est par ailleurs la dérivée particulaire du vecteur vitesse v par rapport au temps t, c'est-à-dire la dérivée prise en suivant le mouvement de la particule le long de sa trajectoire [OUZ 43]. Cette accélération s'écrit vectoriellement [OUZ 56] :
    Γ = dv/dt + (1/2) grad(v²) + rot(v) x v
où :
    "rot()" est l'opérateur "rotationnel"
    "x" est l'opérateur "produit vectoriel"

En supposant que les forces de volume dérivent uniquement du champ de pesanteur terrestre (accélération g et altitude z), on a de plus l'équation :
    F = - grad(ψ) = -grad(g z)
ψ est le potentiel gravitationnel issu de l'Equation de Poisson (voir chapitre Relativité - Lexique) tel que : ψ = -G M_Terre / (R_Terre + z) = -(G M_Terre / R_Terre) (1 + z/R_Terre)^-1, et qui s'approxime en : ψ = -(G M_Terre / R_Terre) + g z dans le cas de faibles altitudes z par rapport au rayon de la Terre (z << R_Terre).
D'où l'expression générale du mouvement d'un fluide parfait dans le champ de pesanteur terrestre [OUZ 91][FRE 3] :

Pour un liquide en mouvement non permanent, il est généralement admis que la masse volumique (r) est fonction du temps (t) mais pas des coordonnées spatiales [FRE 3].
Dans ce cas, en posant X la charge (ou pression totale) de l'écoulement telle que :

alors l'équation (A3) s'écrit :
(A3')    dv/dt + rot(v) x v + (1/r) grad(X) = 0
avec :
(A6)    dr/dx = 0

Remarque : la charge de l'écoulement (X) correspond à l'énergie du fluide par unité de volume et se décompose en trois termes :
- l'énergie potentielle de pression (p), ou pression statique, qui est la pression à l'intérieur du fluide ;
- l'énergie potentielle de situation (r g z), ou pression de pesanteur, qui est liée à l'altitude (z) ;
- l'énergie cinétique ( (1/2) r (v²) ), ou pression dynamique, ou pression cinétique, qui est liée à la vitesse (v) du fluide.

En intégrant l'équation (A3') le long d'une ligne de courant, à un instant donné (dt = 0) où le fluide est supposé "figé" et le terme dv/dt connu en tout point, et en remarquant que dans ce cas le vecteur dx est perpendiculaire au vecteur (rot(v) x v), alors cette équation se simplifie en l'équation de Bernoulli [OUZ 115] :

Remarques :
- L'équation (A3'') est valable, que le mouvement soit rotationnel (rot(v) non nul) ou irrotationnel (rot(v) nul).
- En pratique, toute canalisation n'est pas rigoureusement assimilable à un filet de courant. Pour tenir compte de la répartition de la vitesse dans la section, le dernier terme de l'équation (A4) relatif à l'énergie cinétique est parfois corrigé d'un coefficient multiplicateur ALPHA supérieur à 1 [OUZ 100, 226].

* En régime permanent (dv/dt = 0), l'équation (A3'') devient [OUZ 92] :
(A7)    X = Constante(x)

* En régime non permanent (dv/dt ≠ 0), on considère le cas où la vitesse (v) du fluide ne subit pas de modification trop rapide (coup de bélier dit "de masse"). Les variations de pression (p) du fluide sont alors lentes, ce qui autorise de considérer que la canalisation est indéformable et la masse volumique constante [FRE 3].
Cela s'écrit :
(A8)    dS/dt = 0
(A9)    dr/dt = 0
Par ailleurs, dans le cas particulier d'une canalisation de section (S) constante, on a :
(A10)    dS/dx = 0
En remplaçant les égalités (A6),(A8),(A9) et (A10) dans l'équation de continuité (A2), il vient alors :
(A11)    r S dv/dx = 0
La vitesse (v) qui était, a priori, fonction du temps (t) et de l'abscisse curviligne (x), ne dépend plus, sous les conditions précitées, que du temps (t). Il en est de même pour sa dérivée temporelle (dv / dt).
L'équation (A3'') devient alors [OUZ 116] :
(A12)    r (dv/dt) x + X = Constante(x)

3. Equation du Bernoulli généralisée ( Paragraphe Précédent / Suivant )

Les équations (A7')(A12') se généralisent ensuite pour tenir compte de trois variations de charge supplémentaires :

* Perte de charge singulière (Xs) due aux incidents de parcours du fluide le long de la canalisation (évasement/rétrécissement brusque, coude, clapet, vanne, etc.) [OUZ 140] :

où f8 est le coefficient global de perte de charge singulière, obtenu en sommant tous les coefficients de perte de charge singulière relatives aux incidents de parcours du fluide dans la canalisation.
Dans le cas d'un changement de section (évasement ou rétrécissement), v est la vitesse débitante dans la plus petite des deux sections.

* Perte de charge linéaire (Xl) due aux forces de viscosité (frottement) [OUZ 177] :

où u est le coefficient de perte de charge linéaire de la canalisation, L sa longueur et D son diamètre intérieur.
Dans le cas d'un changement de section, il convient de sommer les pertes de charge linéaires relatives à chaque tronçon L1 et L2 de la canalisation : Xl = (1/2) u r ( (L1/D1) v1² + (L2/D2) v2² )

* Gain ou perte de charge nette (Xn) due aux machines génératrices (pompe) ou motrices (turbine) présentes dans la canalisation [OUZ 242] :

avec :
Pn = puissance nette de la machine fournie au fluide (Pn = Pa R pour une pompe) ou fournie par le fluide (Pn = Pa / R pour une turbine)
Pa = puissance sur l'arbre de la machine
R = rendement global de la machine (produit des rendements mécanique et volumétrique)
Q = débit volumétrique = S v   quel que soit le point de la ligne de courant dans la canalisation.

Cette équation constitue la clef pour résoudre l'essentiel des problèmes d'écoulement dans les réservoirs et leurs canalisations, comme nous allons le voir.

4. Applications pratiques ( Paragraphe Précédent / Début )

Quatre cas pratiques de mise en eau d'un système hydraulique sont présentés ci-après : colonne motrice constante, colonne résistante constante, cheminée d'équilibre et pompe refoulante.

4.1. Colonne motrice constante ( Sous-paragraphe Début / Suivant )

Prenons le cas d'un grand réservoir d'eau se vidant à l'air libre à travers une canalisation de section constante (voir Figure A1).
La masse d'eau du réservoir étant importante, son niveau ne varie quasiment pas (hypothèse de colonne motrice constante h).
Si A, B et C désignent les points du fluide situés respectivement au niveau d'eau du réservoir, au début et à la fin de la canalisation, et si v désigne la vitesse du fluide dans la canalisation, les équations s'écrivent :

Régime permanent entre A et B, d'où :
(A17)    XA = XB
avec :
XA = pA + r g zA + (1/2) r (vA²)
XB = pB + r g zB + (1/2) r (v²)
vA = 0 (le réservoir étant de grande section)

Régime non permanent entre B et C, d'où :
(A18)    XB = XC + Xs + Xl + r L (dv/dt)
avec :
    XC = pC + r g zC + (1/2) r (v²)
    Xs + Xl = (1/2) (j - 1) r (v²)
    j = 1 + f8 + u L/D

Le réservoir et l'extrémité C de la canalisation étant à l'air libre, on a par ailleurs :
(A19)    pA = patm
(A19')    pC = patm

D'où l'équation générale du mouvement [LAN 34][OBR 11][BER 65] [REN 4][OUZ 116] :
(A20)    h = zA - zC = (1/2) j (1/g)(v²) + L (1/g)(dv/dt)

Après résolution de cette équation différentielle (voir Théorie - Phase 6), la vitesse (v) est donc une fonction croissante du temps t :
(A21)    v(t) = vm (e^y - 1) / (e^y + 1)
avec :
(A21')    vm = (2 (1/j) g h)^1/2
(A21'')    y = j (vm / L) t + ln[ (1 + v(t = 0) / vm) / (1 - v(t = 0) / vm) ]

Pour un bélier hydraulique, ce résultat modélise bien la phase N°6 d'éjection de l'eau durant l'ouverture complète du clapet de choc (voir Théorie - Phase 6).

4.2. Colonne résistante constante ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Reprenons le cas N°1 précédent, mais avec une canalisation qui communique à travers un clapet anti-retour avec un réservoir aval, et non à l'air libre (voir Figure A2).
On suppose que le niveau d'eau (zG) du réservoir aval est constant et supérieur au niveau d'eau (zA) du réservoir amont (hypothèse de colonne résistante constante (H - h)).
A l'instant t = 0, on suppose qu'une vanne ou un clapet situé en aval (point D) de la canalisation se ferme instantanément et que le clapet anti-retour s'ouvre également instantanément.
Les relations (A17)(A18)(A19) du cas N°1 précédent sont alors applicables en y rajoutant la relation suivante :

Régime permanent entre C et G, d'où :
(A40)    XC = XG
avec :
(A40')    XG = pG + r g zG + (1/2) r (vG²)
(A40'')    vG = v (le réservoir aval ayant une section S' = S au point G)

D'où l'équation générale du mouvement [BER 85][REN 25][OBR 27] :
(A22)    H = zG - zC = h - (1/2) j (1/g)(v²) - L (1/g)(dv/dt)

Après résolution de cette équation différentielle (voir Théorie - Phase 3), la vitesse (v) est donc une fonction décroissante de t :
(A23)    v(t) = v'm ( (v(t = 0) / v'm) - tg[ (1/2) j (v'm / L) t ] ) / ( 1 + (v(t = 0) / v'm) tg[ (1/2) j (v'm / L) t ] )
avec :
v'm = ( 2 (1/j) g (H - h) )^1/2

Pour un bélier hydraulique, ce résultat modélise bien la phase N°5 de mise en vitesse de l'eau sans éjection (voir Théorie - Phase 5).
Ce résultat pourrait modéliser également la phase N°3 de refoulement de l'eau dans la cloche à air. Néanmoins, pour être plus proche du phénomène réel (variation rapide de la vitesse et de la pression pendant cette phase), nous opterons pour le modèle du coup de bélier dit "d'ondes", avec comparaison toutefois avec le modèle ci-dessus du coup de bélier dit "de masse" (voir Théorie - Phase 3).

4.3. Cheminée d'équilibre ( Sous-paragraphe Précédent / Suivant )

Reprenons le cas N°2 précédent, mais sans le clapet anti-retour et avec une cheminée d'eau de grande section (S') en guise de réservoir aval (voir Figure A3). Ce dispositif anti-bélier est souvent utilisé dans les circuits de pompage industriel ou dans les centrales hydrauliques afin d'absorber les variations brutales de pression dues à la panne subite d'une pompe ou à l'arrêt d'urgence d'un turbo-alternateur situé en aval sur la canalisation [OUZ 136].
A l'instant t = 0, on suppose qu'une vanne située en D se ferme instantanément.
Les relations (A17)(A18)(A19)(A40)(A40') des cas N°1 et n°2 précédents sont alors applicables en y rajoutant les deux relations :
(A18')    j remplacé par j* = 1 + (f8 + u L/D) Signe[v] (l'écoulement pouvant changer de sens dans la canalisation)
(A40''')    vG = 0 (la cheminée étant de grande section)

D'où l'équation générale du mouvement [FRE 3] :
(A24)    H(t) = zG(t) - zC = h - (1/2)(j* - 1)(1/g)(v²) - L (1/g)(dv/dt)

Par ailleurs, pour un coup de bélier dit "de masse", la conservation du débit massique dans l'ensemble canalisation-cheminée fournit l'équation supplémentaire suivante :
(A25)    r S v = r S' dH/dt

Dans le cas simplifié où les pertes de charge sont négligeables (j* = 1) dans toute la canalisation, l'équation générale du mouvement s'écrit :
(A26)    d2v / dt2 = -(g/L) (S/S') v
Et on trouve alors que la vitesse (v) dans la canalisation est une fonction sinusoidale de t et de période T :
(A27)    v(t) = v(t = 0) cos[ A + t (2 π / T) ] / cos[ A ]
avec :
2 π / T = ( (g/L) (S/S') )^1/2
sin(A) = Ks / K
cos(A) = Kc / K
Ks = H(t = 0) - h
Kc = v(t = 0) ( (L/g)(S/S') )^1/2
K = ( (Ks²) + (Kc²) )^1/2

Pour un bélier hydraulique, ce modèle de cheminée d'équilibre pourrait éventuellement modéliser la phase de refoulement de l'eau de la cloche dans la conduite de refoulement, sous réserve de rendre constante la hauteur H et variable la pression amont (pA), cette dernière diminuant rapidement pendant la détente de l'air dans la cloche. Cette adaptation est étudiée dans un chapitre ad hoc (voir Théorie - Phase 8).

4.4. Pompe refoulante ( Sous-paragraphe Précédent / Début )

Prenons le cas d'une pompe motorisée qui remonte l'eau depuis un grand réservoir inférieur (point G en surface) vers un grand réservoir supérieur (point A en surface) (voir Figure A4)

Les différentes relations sont les suivantes :
(A28) :
XA = charge au point A = pA + r g zA + (1/2) r (vA²)
XG = charge au point G = pG + r g zG + (1/2) r (vG²)
Xs + Xl = pertes de charge singulière + pertes de charge linéaire = (1/2) (j - 1) r v²
j - 1 = f8 + u L/D
f8 = coefficient global de perte de charge singulière dans l'ensemble pompe-canalisation.
L = longueur totale de la canalisation
D = diamètre intérieur de la canalisation
S = section intérieure de la canalisation = (π/4) D²
Q = débit volumique refoulé = S v
Xn = gain de charge nette de la pompe = Pn/Q
Pn = puissance nette de la pompe fournie au fluide
Pa = puissance sur l'arbre de la pompe = Pn/R
R = rendement global de la pompe hors actionneur
Pm = puissance absorbée par le moteur de la pompe = Pa/Rm
Rm = rendement du moteur

Chaque réservoir étant de grande section, on a :
(A29)    vA = vG = 0

Chaque réservoir étant à l'air libre, on a :
(A30)    pressions statiques en A et G : pA = pG = patm

En régime permanent, l'équation généralisée de Bernoulli appliquée à l'eau en mouvement allant du point G au point A s'écrit :
(A31)    XG + Xn = XA + Xs + Xl

Compte-tenu des relations (A28)(A29)(A30)(A31), la puissance hydraulique (Pn) de la pompe est alors la suivante :
(A32)    Pn = Q ( r g (zA - zG) + (1/2) (j - 1) r (Q/S)² )

Dans le cas fréquent où vG = 0 et pG = patm, les constructeurs de pompes présentent souvent une formule générale sous la forme :
(A33) Pn = Q r g HMT
avec :
HMT = Hauteur Manométrique Totale (en mètre) = P_gravitaire + P_dynamique + P_service
P_gravitaire en mètre = zA - zG
    P_gravitaire est la pression de pesanteur produite par la différence d'altitude entre les points A et G.
P_dynamique en mètre = (1/2) (1/g) (j - 1) (Q/S)²
    P_dynamique est une pression cinétique subie, produite par les pertes de charge Xl et Xs.
    P_dynamique se détermine souvent sur une abaque en fonction de Q et de D par tranche de longueur L (1 m ou 100 m selon l'abaque).
    Aux pertes de charge singulière près, P_dynamique vaut k L avec k = (8 / π²) (1/g) u Q²/D⁵
    Pour des vitesses v inférieures à 2 m/s et des diamètres D supérieurs à 2", k peut être pris à 0,1 approximativement.
P_service en mètre (ou pression de sortie ou pression d'utilisation ou pression utile)
    P_service, quand elle existe, est la pression souhaitée (statique et cinétique), produite en sortie de la canalisation (point A) :
    P_service en mètre = (pA - patm)/(r g) + (1/2) (1/g) (vA)² = 10 m pour chaque tranche de pression de 1 bar
    La pression pA dépend de la pression statique au point A. Elle vaut pA = patm quand la canalisation débouche à l'air libre.
    La vitesse vA dépend de la section (SA) au point A. Compte-tenu de la conservation du débit massique (qm = r Q) dans la canalisation, elle vaut vA = Q / SA
Dans le cas d'une lance d'incendie pour pompiers, on voit donc qu'augmenter la vitesse d'éjection en sortie de lance, la hauteur de la lance, le débit volumique ou les pertes de charge exige que la pompe fournisse une puissance plus élevée.

On calcule ensuite la puissance absorbée (Pm) par le moteur de la pompe, comme suit :
(A34)    Pm = (1/R) (1/Rm) Pn
Compte-tenu de la relation (A33), les constructeurs de pompes présentent souvent la formule équivalente suivante : Pm_kW = (1 / (R Rm)) (1 / 367) Q_m³/heure HMT_m

Application numérique :
Installation : zA - zG = 15 m ; L_refoulement = 120 m ; L_aspiration = 4 m ; D = 0,019 m ;
Pompe : Q = 2 m³/heure = (2 / 3600) m³/s ; f8 = 15 (clapets de la pompe, crépine, vannes, coudes, etc.) ; R = 0,6 ; Rm = 0,9 (cas d'une pompe électrique)
Constantes : u = 0,02 ; r = 1000 kg.m^-3 pour de l'eau ; g = 9,81 m.s^-2 à Paris
L = L_refoulement + L_aspiration = 124 m
j - 1 = f8 + u L/D = 146
P_gravitaire en mètre = zA - zG = 15 m
P_dynamique en mètre = (1/2) (1/g) (j - 1) (Q/S)² = 29 m
P_service en mètre = 0 m (cas d'un refoulement en partie basse d'un grand réservoir)
HMT = P_gravitaire + P_dynamique + P_service = 44 m
Pn = Q r g HMT = 240 W
Pm = (1/R) (1/Rm) Pn = 450 W

Copyright © 2005 Régis Petit.               Dernière mise à jour de la page : 27 juilllet 2024.